analisis sensibilidad

Análisis Post-Óptimo y Sensibilidad

Capítulo 9
Análisis Post-Óptimo y Sensibilidad
Cambio en
Cambio en
Cambio en
Cambio en
Cambio en
Adición de
Adición de

Cj cuando Xj* es no básica
Cj cuando Xj* es básica
bi
ai,j cuando Xj* es no básica
ai,j cuando Xj* es básica
una restricción
una variable

Introducción
En todo modelo cuantitativo los distinto coeficientes pueden estarsujetos a cambios,
fluctuaciones o errores. Por ello, su conocimiento no siempre es preciso y pueden cambiar
en muchas ocasiones. Un uso típico es el caso en el que hemos obtenido la solución óptima y
deseamos encontrar la nueva solución óptima cuando hayan cambiado, por ejemplo, las
disponibilidades de los recursos (bi), los precios ó costos unitarios por unidad (Cj), cambio
en loscoeficientes tecnológicos (ai,j), incorporación de una nueva variable (Nuevo producto
Xj) y adición de una nueva restricción. Necesario para el tomador de decisiones conocer en
que rango se puede mover los distintos coeficientes mencionados, manteniéndose la
presente solución óptima; ello le da una ventaja competitiva frente a otro tomador de
decisiones, de incalculable valor en dependencia con lasituación ó problema particular.
En éste capítulo se consideran siete (7) posibles cambios en las condiciones iniciales del
problema original, uno a la vez, con su respectivo análisis de sensibilidad, presentando los
argumentos para cada caso y una metodología práctica y rápida en su aplicación; para ello se
usa el siguiente ejemplo, al que inicialmente encontramos la solución óptima mediante elmétodo simplex, colocando al frente de cada tablero su respectivo sistema de ecuaciones
del método algebraico.

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Análisis Post-Óptimo y Sensibilidad
Problema Principal

Adición de variables de Holgura

Maximizar Z = 3X1 + 5X2
c.s.r.
X1
< 4
3X1 + 2X2 < 18

Maximizar Z = 3X1 + 5X2
c.s.r.
X1
+ X3 =
4
3X1 + 2X2
+ X4 = 18

XJ > 0 ; J = 1,2

XJ > 0 ; J = 1,2,3,4

CJ
↓ VB b0 X3 4
0 X4 18
ZJ – CJ 0

CJ
↓
0
5
ZJ –

VB
X3
X2
CJ

3
X1
1
3
-3

b
4
9
45

5
X2
0
2
-5
↑

0
X3
1
0
0

3
X1
1
3/2
9/2

(0) ZX – 3X1 – 5X2
= 0
(1)
X1
+ X3
= 4
(2)
3X1 + 2X2
+ X4 = 18

b
0
X4 a
0 NO
1
9
0

5
X2
0
1
0

0
X3
1
0
0

X1 = 0
X2 = 0

0
X4
0
1/2
5/2

X3 = 4
X4 = 18

ZX = 0

(0) ZX + 9/2X1
+ 5/2X4 =45
(1)
X1
+ X3
= 4
(2)
3/2X1 + X2
+ 1/2X4 = 9
X1 = 0
X2 = 9

X3 = 4
X4 = 0

ZX = 45

Solución óptima y factible:
Problema Principal

Problema Dual

X1* = 0
X2* = 9
X3* = 4

Y1* = 0
Y2* = 5/2
Y3* = 9/2

X4* = 0
ZX* = 45

Y4* = 0
ZY* = 45

Sobre la presente solución óptima, consideraremos los siguientes cambios, uno a la vez para
cada caso, con su respectivoanálisis de sensibilidad y metodología abreviada.
1. Cambio en Cj cuando Xj* es no básica
2. Cambio en Cj cuando Xj* es básica
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Análisis Post-Óptimo y Sensibilidad
3.
4.
5.
6.
7.

Cambio en bi
Cambio en ai,j cuando Xj* es no básica
Cambio en ai,j cuando Xj* es básica
Adición de una restricción
Adición de una variable

Los casos 1 y 2 se generalizarán bajo una metodología únicaque haga fácil su aplicación, al
igual que en los casos 4 y 5 en los que adicionalmente se mostrará su relación con el
concepto de productividad, tema importante del estudio del trabajo.
En el caso 3 se encontrará el significado de los valores de las variables del Dual,
denominado EL PRECIO SOMBRA y el COSTO REDUCIDO, valores éstos importantes para
el análisis económico y la toma de decisiones.1. CAMBIO EN CJ CUANDO XJ* ES NO BÁSICA
Aquí se propone que la función objetivo original sea cambiada de la siguiente manera:
ZX = 3X1 + 5X2
Z’X = 6X1 + 5X2 ; Se ha modificado el valor de C1 = 3 por C1’ = 6 ;
Siendo C1 el coeficiente de X1 variable que en el óptimo es NO-Básica
Éste cambio tiene un efecto sobre el valor de Z1* - C1 en el óptimo actual, que tiene un valor
de 9/2,...