Analisis varias variables

ANÁLISIS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

2006, Copia-Borrador del curso brindado en la Universidad de La Habana. Esta obra no puede ser copiada en su totalidad o en parte sin permiso escrito de la autora Concepción Valdés Castro, Facultad de Matemática y Computación, Universidad de La Habana.

"[…] la actitud de aquellos que consideran al análisis aislado, como una ciencia lógicamenteabstracta, introvertida, es no solo sumamente inadecuado para los principiantes, sino que pone en peligro el futuro de la materia; dedicarse al análisis matemático y al mismo tiempo dar la espalda a sus aplicaciones y a la intuición es condenarlo a una atrofia sin esperanzas" Richard Courant1

PRÓLOGO

Las primeras nociones relacionadas con lo que actualmente estudiamos dentro del análisis defunciones de varias variables ya se encuentran en los trabajos originarios del Análisis Matemático. A fines del siglo XVII, Leibniz, Newton y sus seguidores resolvían con gran éxito problemas geométricos y mecánicos ayudados por algoritmos de diferenciación e integración. Pero, en esa época, aún no se había enunciado el concepto función y ellos aplicaban estos algoritmos a fórmulas que relacionabandos o tres magnitudes variables. En pleno siglo XVIII, Euler da una definición de función como expresión analítica y coloca al estudio de las funciones como el objetivo fundamental del Análisis. A fines del siglo XVIII y principios del XIX se inició una reestructuración de los fundamentos del análisis; los matemáticos se preocuparon insistentemente en asentar sobre bases sólidas el cálculo confunciones de una variable. En cambio, las manipulaciones que era necesario efectuar con las funciones que dependían de dos o más variables siguieron realizándose en la forma tradicional. No será hasta la segunda mitad del siglo XIX, vinculado principalmente al desarrollo de una mayor preocupación por el rigor lógico en los programas y clases de matemáticas en las universidades alemanas y sobre todo,bajo la influencia del Maestro Weierstrass, que comience el cuestionamiento de muchas de las afirmaciones hasta ese momento admitidas sin vacilación. Los esfuerzos dirigidos a conseguir una fundamentación del análisis en R n , acorde con los cánones del rigor de la época, evidenció la necesidad de un estudio más profundo de la estructura topológica de este espacio. Por otra parte, y no menosimportante, en la época en que esta reestructuración tiene lugar, ya las aplicaciones del análisis solicitaban el desarrollo de los métodos analíticos para la manipulación de funciones definidas en espacios más generales. Por esta razón, vemos que a principios del siglo XX, en forma casi simultánea, se introduce el rigor en la diferenciación e integración de funciones de varias variables y se desarrollael análisis en espacios con más de tres dimensiones. Desde una perspectiva pedagógica, a este largo proceso de conformación del análisis de funciones de varias variables, esquematizado en los dos párrafos anteriores, es necesario asociar las naturales modificaciones didácticas surgidas durante más de 200 años de enseñanza de esta disciplina matemática. Una consecuencia de estas transformaciones esque, al estudiante actual, con bastante frecuencia se le trasmita el Análisis en una forma coherente, rigurosa y formal. No obstante, esta transmisión generalmente resulta fría y esquemática,
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Differential and Integral Calculus, (1934), Blackie &Son Limited, London.

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desligada de los problemas que le dieron origen, sin una discusión reveladora de la dinámica de contradicciones quemotivaron y estimularon a los científicos de cada época. Es decir, se difunde la impresión de que las definiciones y los teoremas con sus demostraciones surgieron "por arte de magia", como consecuencia de la "creación pura" de los genios cuyos nombres asociamos a los teoremas. Además, estos resultados, expuestos esquemáticamente como sistemas lógicos formales, son concebidos como "verdades...