Analissi numerico edp

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GLOSARIO

1. La serie de Taylor de una función de dos variables “x” y “y” infinitamente derivable definida en un intervalo abierto se define como:
fx+x0 , y+y0=n=0∞1n!fxx+fyyn
Donde
“X0” y ” y0” son puntos de referencia conocidos y las potencias en el corchete sirven solo como nemotecnia para el desarrollo de los términos haciendo referencia a (a+b)2, (a+b)3, etc.
fxx+fyy0=f(x0, y0)
fx=∂f∂x ; fxx=∂2f∂x2 ; fy=∂f∂y ; fyy=∂2f∂y2 ; fxy=∂2f∂x∂y


Desarrollando la serie de Taylor se obtiene:
fx+x0 , y+y0= 10!f+11!fxx+fyy1+12!fxx+fyy2+13!fxx+fyy3+…
fx+x0 , y+y0= fx0, y0 +fxx+fyy+12fxxx2+2fxyxy+fyyy2+…

2. una ecuación en derivadas parciales es una relación entre una función u de varias variables independientes x,y,z,t,... y las derivadas parciales de u respecto deesas variables.
3. Una ecuación parabólica en derivadas parciales es una ecuación diferencial parcial de segundo orden del tipo

en la cual la matriz tiene un determinante igual a 0.

SOLUCIÓN Y RESULTADOS

1- SERIES DE TAYLOR

Sea sen(x+y) = F(x,y) y centrando dicha función en (π2, 0) se tienen el siguiente procedimiento para determinar la serie de Taylor:

F(x,y) = sen (x+y)

Fx= cos(x+y)
Fy = cos(x+y)
Fxx =-sen(x+y)
Fyy =-sen(x+y)
Fxy =-sen(x+y)

Aplicando la serie de Taylor a los dos primeros términos se obtiene:
sen(x+y) = sin(x₀+y₀) + [ cos(x+y)](x-π2) + [cos(x+y)](y-0)+
12 [ (-sen(x+y))(x-π2)² + 2xy(-sen(x+y))(x-π2)(y-0) +
(-sen(x+y))(y-0)²]

sen(x+y) = 1+[ cos(x+y)](x-π2) + [cos(x+y)]y+12 [ (-sen(x+y))(x-π2)²
+2xy(-sen(x+y))(x-π2)y +(-sen(x+y))(y)²]

Grafica No. 1
Función sen (x+y) y aproximación a través de serie de Taylor

Tabla No. 1
Error absoluto obtenido a través de la aproximación con serie de Taylor de sen (x+y) en 4 puntos
x | y | Función | Serie de Taylor | Error |
(π/4) | (π/4)| 1 | 1.0 | 0 |
(π/3) | (π/4) | 0.96592583 | 0.89913958 | 0.06678625 |
(π/6) | π | -0.5 | 0.28282335 | 0.78282335 |
(π/8) | (π/16) | 0.55557023 | -0.08403061 | 0.63960084 |

2- ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES (EDP)
Ecuación del calor
La ecuación del calor predice que si un cuerpo a una temperatura T se se pone en contacto con otro a menor temperatura, la temperatura del cuerpodisminuirá, y finalmente la temperatura de ambos cuerpos será igual es decir ambos cuerpos estarán en equilibrio térmico.
La ecuación del calor es una ecuación parabólica en derivadas parciales que describe la distribución del calor en una región a lo largo del transcurso del tiempo. Para el caso de una función de tres variables en el espacio (x,y,z) y la variable temporal t, la ecuación del calores

Donde k es una constante.
En forma unidimensional La ecuación de calor esta dada por ∂U∂t = k∂2U∂x2 . Esta permite modelar la distribución de temperatura en una barra de longitud l, que presenta una temperatura inicial f(x), y cuyos extremos se mantienen a temperatura cero.
En general Las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales se pueden aproximar a través de tres métodos, los cuálesson:
Diferencias progresivas
Diferencias regresivas
Método de Crank- Nicolson

Ecuación de onda
La ecuación de onda es una ecuación diferencial parcial hiperbólica, lineal de segundo orden que describe la propagación de de ondas.
En su forma más elemental, la ecuación de onda hace referencia a un escalar u que satisface:

Donde es el laplaciano y donde c es una constante equivalentea la velocidad de propagación de la onda.
Las ecuaciones parabólicas en derivadas parciales para la ecuación de ondas se pueden aproximar a través de diferencias finitas centradas.

Método de Diferencias Finitas

Si u es una función de x con derivadas finitas y continuas, aplicando el Teorema de Taylor se puede llegar a que una aproximación a u``(x) esta dada
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