Solución numérica EDP

Cap´
ıtulo 5

Introducci´n a los m´todos de soluci´n
o
e
o
num´rica de E.D.P.
e
5.1

Introducci´n.
o

En lo sucesivo consideramos las notaciones para E.D.P. siguientes: Supongamos una E.D.P. de orden 2 para
la funci´n u(x, y) dada por:
o
∂2u
∂2u
∂2u
a 2 +b
+c 2 =e
(5.1)
∂x
∂x∂y
∂y
donde a, b, c, d, e son funciones dependientes de (x, y, ux , uy )
¯
Notamos por R laregi´n del plano sobre la que se define u(x, y), ∂R es la frontera de R, R es la regi´n
o
o
cerrada R ∪ ∂R.
Considerada una red o malla de puntos {(xi , yj ) : i = 0, 1, . . . , N + 1, j = 0, 1, . . . , M + 1}, para la regi´n
o
R, llamaremos:
uij = u(xi , yj ) ser´ el valor exacto de la soluci´n de la E.D.P. (supuesta su existencia y unicidad)
a
o
vij al valor num´rico proporcionado por unm´todo de resoluci´n aproximada de la E.D.P.;
e
e
o
Si la malla es rectangular y parcialmente uniforme, notaremos por h =paso en la direcci´n x, k =paso
o
en la direcci´n y de modo que: xi = x0 + ih, yj = y0 + jk
o

1

2

Problemas de V.F.
Ejemplo:
Para R = [a, b] × [c, d] una red de puntos para R es la de la figura:

xi ,yj

Figura 5.1: Malla rectangular

En muchas situacioneslas funciones a, b, c son ctes, de forma que a partir del signo de b2 −4ac se clasifican
en tres tipos est´ndar; a saber:
a
El´
ıpticas si b2 − 4ac < 0
Parab´licas si b2 − 4ac = 0
o
Hiperb´licas si b2 − 4ac > 0
o
As´ pues, en este cap´
ı
ıtulo nos centraremos en el an´lisis num´rico de algunas E.D.P. cl´sicas como:
a
e
a
El´
ıpticas:
Ec. de Poisson:
Ec. Laplace:

∂2u
∂x2

∂2u∂x2

+

+

∂2u
∂y 2

∂2u
∂y 2

= f (x, y) (distribuci´n de temperaturas en equilibrio)
o

=0

Parab´licas:
o
Ecuaci´n del calor-difusi´n:
o
o
En dimensi´n m:
o

∂u
∂t

Hiperb´licas:
o
Ecuaci´n de ondas:
o

5.2

5.2.1

=

∂2u
∂t2

2u

∂u
∂t

2

= α2 ∂ u (en dimensi´n 1)
o
∂y 2

donde

2

=Laplaciano para u (x1 , . . . , xm )

2

= α2 ∂u
∂y 2

M´todo de Diferencias Finitas (D.F.) para la ecuaci´n de Poisson.
e
o
Problemas de Dirichlet y Neumann.
Ecuaciones el´
ıpticas: problemas de Dirichlet y Neuman.

Ahora nos ocupamos de resolver num´ricamente dos problemas t´
e
ıpicos para la ecuaci´n de Poisson o de
o
Laplace como son los de Dirichlet y Neuman seg´n sean las condiciones iniciales y/o frontera para la deteruApuntes de J. Lorente

3

minaci´n de la soluci´n. El problema de DIRICHLET en el plano es:
o
o
Hallar la funci´n u(x, y) verifcando:
o
∂2u ∂2u
+ 2 = f (x, y)
∂x2
∂y

(x, y) ∈ R
(5.2)

u(x, y) = g(x, y), si (x, y) ∈ ∂R
¯
u(x, y) es continua en R

donde R es un dominio abierto de R2 . En particular supongamos que R = ]0, 1[ × ]0, 1[ y tomamos una
red de M × M -nodosinteriores uniformemente distribuidos; es decir, cada nodo es:
(xi , yj ) ≡ (ih, jh) con h =

1
M +1

e i, j = 0, 1, . . . , M + 1

Ahora las condiciones de frontera quedan en la forma siguiente:
u(x, 0) = f0 (x), u(x, 1) = f1 (x) 0

x

1

u(0, y) = g0 (y), u(1, y) = g1 (y) 0

y

1

´
METODO DE DIFERENCAS FINITAS.
Para obtener una soluci´n num´rica del problema (5.2), procedemoscomo sigue: Es f´cil obtener, en cada
o
e
a
nodo interior (xi , yj ), las estimaciones de derivadas siguientes (como en cap´
ıtulos precedentes):
∂2u
∂x2

∂2u
∂y 2

2

con error: Ex = − h
12

2

con error: Ey = − h
12

1
(ui+1,j − 2uij + ui−1,j )
h2

1
(ui,j+1 − 2uij + ui,j−1 )
h2

∂ 4 u(θi ,yj )
∂x4

∂ 4 u(xi ,ηj )
∂y 4

Desde aqu´ la ecuaci´n de Poisson tiene ladiscretizaci´n siguiente:
ı,
o
o
vi−1,j + vi+1,j − 4vij + vi,j−1 + vi,j+1 = h2 f (xi , yj )
para i, j = 1, . . . , M
que junto a las condiciones de frontera de Dirichlet:
v0j = f0 (0, yj ) , vM +1,j = f1 (1, yj )
vi0 = g0 (xi , 0) , vi,M +1 = g1 (xi , 1)
para i, j = 1, . . . , M
conduce a un sistema de M 2 ecuaciones con otras tantas inc´gnitas. ¿Tiene soluci´n unica el sistema
o
o...