Analizadores Para La Demostracion Matematica

Analizadores específicos para la demostración matemática. Aplicación a los textos en el tema de Trigonometría en Bachillerato
Marcelino J. Ibañes Jalón

Resumen. Este artículo resume una investigación, aún no finalizada, que se encuadra en la que, sobre la demostración matemática, realizan, en la Universidad de Valladolid, T. Ortega y M. Ibañes. Consta de dos partes. En la primera se definen ycomentan varias dimensiones de la demostración matemática. En la segunda, se toman como base estas dimensiones para formular algunos analizadores específicos para el tratamiento de la demostración, y se aplican a los libros de texto de Matemáticas I, de primer curso de Bachillerato, en el tema de Trigonometría.

El Ministerio de Educación y las Consejerías de Educación de las ComunidadesAutónomas, en sus propuestas curriculares, utilizan un esquema con cuatro componentes. objetivos, contenidos, metodología y evaluación. Sin embargo, Rico (1997) considera que el empleo de esta caracterización, en tareas de diseño y planificación del trabajo para el aula, resulta inadecuado. Por este motivo, este autor busca otros elementos que permitan la elaboración de las unidades didácticas enmatemáticas, y llama organizadores “a aquellos conocimientos que adoptamos como componentes fundamentales para articular el diseño, desarrollo y evaluación de unidades didácticas”. Define estos cinco organizadores del curriculo: - Los errores y dificultades usualmente detectados en el aprendizaje de cada tema. - La diversidad de representaciones utilizadas para cada sistema conceptual. - La fenomenologíade los conocimientos implicados y las aplicaciones de cada bloque de contenidos. - La diversidad de materiales y los recursos que pueden emplearse. - La evolución histórica de cada campo o de cada concepto. Además, entendemos, que estos organizadores deben concretarse en cada tema y completarse con otros, más específicos del tema en cuestión. En el trabajo de investigación que aquí se resume, sedefinen y estudian diversas dimensiones de la demostración matemática (primer apartado), a partir de las cuales se formulan algunos analizadores específicos para el tratamiento de la demostración, que se aplican en el análisis de textos de primer curso de Bachillerato, en el tema de Trigonometría (segundo apartado).

1. Dimensiones de la demostración En este apartado se presentan brevementecuatro dimensiones de la demostración matemática: histórica, epistemológica, instrumental y cognitiva. -1-

Dimensión histórica Hemos realizado un estudio muy detenido de la evolución histórica de los razonamientos de validación, siguiendo las investigaciones de distintos especialistas prestigiosos: Boyer (1987), Kleiner (1991), Kline (1992), de Lorenzo (1977), Wilder (1967), etcétera, y, enocasiones, también hemos acudido a las primeras fuentes. No obstante, nuestra intención no ha sido realizar una investigación en historia de las matemáticas, tema en el que no somos especialistas, hacer algunas reflexiones que pueden ser útiles para su enseñanza: - No existe un modelo de demostración independiente de la época ni de las personas que han construido el conocimiento matemático. - Lasexigencias de rigor en la argumentación matemática han ido variando a lo largo de la historia. - El rigor absoluto es inalcanzable: nunca se ha podido conseguir una certeza total en los resultados obtenidos. - No debemos pensar que la idea actual de demostración es la última palabra. - No ha habido siempre un total acuerdo entre los matemáticos en cuanto a la conveniencia de los conceptos yprocedimientos utilizados. - Resulta enriquecedora la búsqueda de distintas fundamentaciones para una teoría, diferentes explicaciones para un resultado, y distintas técnicas para una demostración. - Esta diversidad se manifiesta también en las finalidades de la demostración. Dimensión epistemológica La demostración es una clase de argumentación típica de las Matemáticas, ya que los procedimientos de...