analizis matematico

UNIDAD 1. NÚMEROS REALES Y FUNCIONES
1.1 Conjuntos
A. CONJUNTOS Y OPERACIONES CON CONJUNTOS
Por conjunto entendemos una colección de objetos que poseen al menos una característica común. Los
objetos individuales se llaman elementos del conjunto. Si el conjunto tiene un número finito de elementos se dice
que es un conjunto finito, en caso contrario se trata de un conjunto infinito. Porejemplo:


El conjunto de números enteros del 1 al 10 es un conjunto finito; tiene diez elementos.



El conjunto de todos los números enteros positivos es un conjunto infinito; tiene un número infinito de
elementos.
Comúnmente, los conjuntos se designan con letras mayúsculas: A, B, C,

elementos con minúsculas: a, b, c,

, X , Y , Z ; y los

, x, y , z . Utilizamos la notación

x Apara indicar que “ x es elemento del conjunto A ” o que “ x pertenece al conjunto A ”. Si x no pertenece al
conjunto A escribimos x  A .
Un conjunto se puede mostrar escribiendo sus elementos entre llaves y separados por comas
(descripción por extensión) o mediante un elemento genérico seguido de la propiedad definitoria que poseen
todos los elementos del conjunto (descripción porcompresión). Por ejemplo:


El conjunto de los enteros positivos del 1 al 10: A  1, 2,3,



El conjunto de los enteros positivos menores que 200:

,10.

B  x x es un entero positivo menor que 200  1, 2,3,



,198,199.

El conjunto de todos los enteros impares positivos: C  x x es un entero impar positivo  1,3,5,
Se dice que un conjunto A es subconjunto de un conjunto B , yse denota como
A B

si todo elemento de A también es elemento de B .
La siguiente figura, en la que B es todo el interior del círculo grande, ilustra la relación A  B :

B
A

1

.

De la definición anterior se desprenden las siguientes conclusiones:
 Todo conjunto A es subconjunto de sí mismo ( A  A ).
 Si A  B y B  C , entonces A  C .
 Si A  B y B  A , entonces A  B.
Ahora introducimos las operaciones con conjuntos que nos van a permitir obtener nuevos conjuntos,
partiendo de conjuntos ya conocidos. A y B serán dos conjuntos cualesquiera que son subconjuntos de un
conjunto universal arbitrario que denotaremos como U .
 La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos elementos que pertenecen a A o a B .
Se denota como A  B .

A  B  x x  A o x  B .
La partícula “o” se llama disyunción y se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”
 La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a
A y a B . Se denota como A  B .

A  B   x x  A y x  B .
La partícula “y” se llama conjunción y se utiliza para resaltar que los elementos del nuevo conjuntopertenecen tanto a A como a B .
 La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a

A y no pertenecen a B . Se denota como A \ B .
A \ B   x x  A y x  B .

En la siguiente figura se muestran los conjuntos que resultan de las anteriores operaciones:

A B

A B
B

A

B

A

B

A

B

A

B\ A

A\ B
2

Laspropiedades básicas de las operaciones entre conjuntos son:

Leyes idempotentes : A  A  A

y

Leyes conmutativas : A  B  B  A
Leyes asociativas :

A A  A
y

A B  B  A

A   B  C    A  B  C

y

A   B  C    A  B  C

Leyes distributivas : A   B  C    A  B    A  C 

y

A   B  C    A  B   A  C 

Para que la intersección de dosconjuntos siempre sea un conjunto, definimos el llamado conjunto vació
o conjunto nulo. Este es un conjunto sin ningún elemento y se denotará por  .
Si A es cualquier subconjunto de un conjunto universal U , entonces se verifica:
1.
2.
3.
4.

A  A
A U  U
.
A  
A U  A

El complemento de un conjunto A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto
universal U...