Angulo entre dos rectas. perpendicularidad y paralelismo entre rectas

ANGULO ENTRE DOS RECTAS. PERPENDICULARIDAD Y PARALELISMO ENTRE RECTAS |

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Sean l1 y l2 dos rectas no verticales, cuyos ángulos de inclinación son 1 y 2respectivamente. Al cortarse las rectas l1 y l2 forman cuatro ángulos iguales de dos en dos (fig. 4.14.), esto es: 1 = 2 = 1 – 2 y  1 = 2 = 1800 - 1. |
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| Se define el ANGULO entrel1 y l2 como  
el ángulopositivo obtenido al rotar la rectal2 hacia l1 . 
En este caso, el ángulo entre l1 y l2 viene dado por: 
 1 = 1 - 2 (1) |
                            Fig. 4.14El propósito ahora es establecer una relación entre las pendientes de dos rectas y el ángulo entre ellas.De la igualdad (1) se tiene:tan 1 = tan (1 - 2),  (2) 
 También,cot 1 = cot (1 - 2),  (3) 
 Puesto que m1=tan 1 ym2=tan 2 , entonces las igualdades (2) y (3) podemos escribirlas en la forma:tan 1,  (2)’ 
  
 y cot 1,  (3)’ 
 Las ecuaciones (2)’ y (3)’ expresan la tangente y la cotangente del ángulo 1, entre las rectas l1 y l2 en términos de sus pendientes y por medio de ellas se pueden establecer criterios de perpendicularidad y paralelismo entre rectas, como la afirma el siguiente teorema.  TEOREMA (Condiciones de Perpendicularidad y Paralelismo)Sean l1 y l2 dos rectas no verticales con pendientes m1 y m2 respectivamente. Entonces: 
i)  l1 es paralela a l2 (l1 ||  l2)  m1 = m2ii)  l1 es perpendicular a l2 (l1 l2)  m1 . m2 = -1 DemostraciónEn la fig. 4.15. aparece ilustrada cada una de las situaciones |
fig. 4.15.i. Suponga que l1 || l2 y vea que m1 = m2. 
En efecto, como l1 ||l2,entonces los ángulos 1 y 2 son iguales por correspondientes y en consecuencia tan1 = tan2, es decir, m1 = m2 . 
Ahora, si m1= m2 , se sigue de (2)’ que tan1 = 0, y de aquí, 1 = 1 - 2 = 0, de donde 
1 = 2 y por lo tanto l1 y l2 son paralelas.ii. Si l1 y l2 son perpendiculares, entonces  y cot 1 = cot  Sustituyendo este último valor en (3)’ obtenemos: 0 , de donde m1. m2 + 1 = 0, y deaquí se deduce que m1. m2 = -1.Recíprocamente, si m1. m2 = -1, entonces  y como m2=tan2 y m1=tan1 , se tiene que , donde sin pérdida de generalidad hemos escogido la recta l1 con mayor inclinación 1. Teniendo en cuenta que tanto 1 como 2 son ángulos positivos y menores que 1800, concluimos que: 1 = 900 + 2, de donde 1 – 2 = 900 y por lo tanto las rectas l1 y l2 sonperpendiculares.Observaciones 
      i.  Si las rectas l1 y l2 están dadas por las ecuaciones en forma general Ax + By + C = 0  
        y A1x + B1y + C1 = 0 puesto que  y , entonces las condiciones 
       de  paralelismo y perpendicularidad del teorema pueden enunciarse en la siguiente  
       forma:l1 || l2 l1 l2    
 Un caso especial del paralelismo entre rectas es la coincidencia. Una condiciónnece- 
saria y suficiente para que dos rectas l1 y l2 sean coincidentes es la proporcionalidad entre sus coeficientes. Es decir, las rectas de ecuaciones 
        Ax + By + C = 0 y A1x + B1y + C1 = 0 son coincidentes  |
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4.6. FORMA NORMAL DE LA LÍNEA RECTA | |
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Consideremos la recta l que aparece en la figura 4.16. 
El eje trazado por el origen de coordenadas y perpendicular a l esllamado: Eje normal de l. El ángulo de inclinación de este eje (0o 180o) es llamado: ángulo normal a l. El segmento dirigido del origen a la recta, medido a lo largo del eje normal, es llamado el intercepto normal de la recta y se denota por P. El signo de P coincide con el signo del intercepto de la recta con el eje y. Este criterio de signo para P no es aplicable a rectas paralelas al eje y.En este caso, P coincide con el intercepto de la recta con el eje x y corresponde al caso para el cual = 0. En la fig. 4.16. aparecen el ángulo normal  , el eje normal ON y el intercepto normal p para una recta l. 
El propósito ahora es entonces deducir la ecuación de la recta l, en términos de p y  . Para ello se considerarán tres casos.  |
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fig. 4.16. |...