Anovas

TEMA 6:
ANÁLISIS DE LA VARIANZA

ANOVA: Tipología de modelos
Factores Información

Efectos

Modelo

1

Completamente aleatorizada

Fijos

M1

1

Completamente aleatorizada

Aleatorios

M2

1

Aleatorizada en bloques

Fijos

M3

1

Aleatorizada en bloques

Aleatorios

M4

2

Completamente aleatorizada

Fijos

M5

2

Completamente aleatorizadaAleatorios

M6

2

Aleatorizada en bloques

Fijos

M7

2

Aleatorizada en bloques

Aleatorios

M8

Pablo Alonso González

Hipótesis básicas del ANOVA
•

Se parte de k poblaciones, representadas por variables aleatorias
independientes, X1, X2,...,Xk

•

Hipótesis básicas:
Las variables X1, X2,...,Xk son independientes
Xi ≈ N(μi, σ) ∀i = 1,2,...,k
Todas lasvariables deben tener la misma varianza (homocedasticidad)
Muestreo aleatorio simple dentro de cada nivel

Pablo Alonso González

MODELOS M1 Y M2

Pablo Alonso González

Expresión fundamental de la varianza
ST = SCD + SCE
k ni

(

SCD = S E = ∑ ∑ xij − xi⋅
i =1 j =1

k ni

)

2

k

SCE = S A = ∑ ∑ ( xi⋅ − x ) = ∑ ni ( xi⋅ − x )
2

i =1 j =1

k ni

i =1

(

⇒ ST = SE + S A = ∑ ∑ xij − xi⋅
i =1 j =1

2

)

2

k

+ ∑ ni ( xi⋅ − x )

2

i =1

Pablo Alonso González

M1: Fundamentos
•

Planteamiento:
se tiene una variable aleatoria cuantitativa, ξ, cuyo valor está determinado
por un factor como variable aleatoria cualitativa, del cual hay k posibles
niveles, F1, F2,..., Fk

•

Modelo de partida e hipótesis a contrastar:

xi = μi +εi / εi ≈ N ( 0 ,σ )

H 0 : μ1 =

= μk = μ

H1 : ∃μi ≠ μ j

o, alternativamente:

xi = μ + αi + εi / εi ≈ N ( 0 ,σ )

H 0 : α1 =

= αk = 0

H1 : ∃αi ≠ 0

Pablo Alonso González

M1: presentación de la información

1

2

...

...

n

F1

n11

n12

...

...

n1n

F2

n21

n22

...

...

n2n

...

...

...

...

...

...

...

......

...

...

...

Fk

nk1

nk2

...

...

nkn

el tamaño
muestral de
cada factor no
tiene porqué
ser igual

filas = factores
columnas = observaciones

Pablo Alonso González

M1: cálculo abreviado
• SA:

(
i =1
k

)

k

2
E ( S A ) = ( k − 1) σ + n ∑ μi − μ 2

i =1

si H 0 cierta ⇒ E ( S A ) = ( k − 1) σ2

2

S A = ∑ ni xi2 − Nx 2 / N = kn
⋅• SE:
k

n

k

2
S E = ∑ ∑ xij −∑ ni xi2
⋅
i =1 j =1

i =1

• ST:
k

n

ST = ∑ ∑

i =1 j =1

E ( S E ) = ( N − k ) σ2 en cualquier caso

2
xij −Nx 2

(
i =1
k

)

2
E ( ST ) = ( k − 1) σ + n ∑ μi − μ 2 + ( N − k ) σ 2
2

si H 0 cierta ⇒ E ( ST ) = ( N − 1) σ2

Pablo Alonso González

M1: cuadrados medios
Cuadrados medios =

• S’A:

Suma decuadrados
grados de libertad

S
S′ = A
A k −1

(
i =1

nk 2
μi − μ 2
E ( S′ ) = σ +
A
k −1 ∑
2

)

si H 0 cierta ⇒ E ( S ′ ) = σ2
A

• S’E:
S
′
SE = E
N −k

• S’T:

′
E ( S E ) = σ2 en cualquier caso

ST
N −1

(
i =1

nk2
′
μi − μ 2
E ( ST ) = σ +
N −1 ∑
2

)

′
si H 0 cierta ⇒ E ( ST ) = σ2
Pablo Alonso González

M1: contraste a realizar y formulación•

Contraste a realizar y ley estadística:

E ( S ′ ) ⎧1 si H 0 cierta
A
=
′ ) ⎨> 1 si H 0 no cierta
E ( SE
⎩

•

S′
A ≈F
k −1,N − k si H 0 cierta
′
SE

Formulación del contraste:

S′
A > F ( α ) ⇒ se rechaza H
0
′
SE
S′
si A ≤ F ( α ) ⇒ no se rechaza H0
′
SE
si

Pablo Alonso González

M1: tabla ANOVA

Fuente

Suma de grados de Cuadrados
F
cuadradoslibertad
medios
empírica

Variación
entre
factores

SA

Variación
dentro
del factor

SE

k-1

N-k

F
teórica

S’A

S’E

S′
F= A
′
SE

F*k-1,N-k

Pablo Alonso González

M1: actuación cuando se rechaza H0
•

Se comparan dos a dos las medias

•

Casos posibles:

⎛ k ⎞ k ( k − 1)
=m
⎜ 2⎟ =
2
⎝⎠
•

Regla de decisión:

si xi i - x j i > tα* ( N - k )...