Análisis Numéricos

2012

ANÁLISIS NUMÉRICOS

Villahermosa; Tabasco a 19 de Junio del 2012

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Método de Taylor
La serie de Taylor es el fundamento matemático más importante para comprender, manejar y
formular métodos numéricos la cual está basada en la aproximación de funciones por a través de
polinomios.
Aunque a veces no sea muy evidente, la mayoría de los métodos numéricos se basan enla
aproximación de funciones por medio de polinomios.
Para un cierto método de solución a un problema con condiciones iniciales que tiene como
fórmulas de recurrencia:

Se dice que tiene un error local de truncamiento dado por:

En el caso del método de Euler el error local de truncamiento queda:

Si y´´(t) está acotado por una constante M para t en el intervalo [a,b]

Se dice que elerror local de truncamiento en el método de Euler es O(h).
Si el desarrollo de Taylor para y(ti+1) en ti lo expandimos considerando hasta términos de grado
“n”:

Para alguna ᶓi en (ti, ti+1). Si ahora utilizamos que y´(t)= f(t,y) lo anterior nos queda:

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Si definimos

Así por ejemplo:

así las fórmulas de recurrencia

y para i=0,1,2…., N-1

Definen el método deTaylor de orden “n”. Note que de acuerdo a la definición: el error local de
truncamiento del método de Taylor de orden “n” es “n”.
Ejemplo:
Para el siguiente problema con condiciones iniciales:

Aplicar los métodos de Taylor de orden dos, tres y cuatro para obtener aproximaciones a su
solución.
Para obtener las expresiones T(2), T(3) y T(4) requerimos calcular las derivadas de f(t,y)= y/t -(y/t)2

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Idénticamente:

Para la aproximación de Taylor del segundo orden de la tabla de cálculos queda de la siguiente
manera:

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Para la aproximación de Taylor de tercer orden la tabla de cálculos queda de la siguiente manera:

Para la aproximación de Taylor de cuarto orden la tabla de cálculos queda de la siguiente manera:

Comparativa entrelas aproximaciones dadas por el método de Taylor de orden 2 (wi), por el
método de Taylor de orden 3 (zi ) y por el método de Taylor de orden 4 (ui ). En la tabla se indican
los errores absolutos en cada valor de t.

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Método de Euler
Es un procedimiento de integración numérica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias a
partir de un valor inicial dado.
Siconsideramos el problema de calcular la pendiente de una curva desconocida que comienza en
un punto dado y satisface una cierta ecuación diferencial dada. Se puede pensar en la ecuación
diferencial como una fórmula que nos permite calcular la pendiente de la recta tangente a la curva
en cualquier punto de la curva, siempre que el punto se conozca.
La idea es que a pesar de que la curva es desconocidaen principio, su punto de comienzo(al cual
denotamos por x0 es conocido. Entonces, de la ecuación diferencial se puede computar la pendiente
de la curva en el punto x0 y por lo tanto la recta tangente a la curva.
Ahora, dando un pequeño paso sobre dicha recta, podemos tomarnos un nuevo punto x1 y suponer
que dicho punto pertenece a la curva, entonces seguimos el mismo razonamiento aplicadoanteriormente y volvemos a calcular la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto x1.
Luego de varios pasos tendremos formada una curva poligonal x0, x1, x2, x3. En general esta curva
que obtenemos al aplicar el método no diverge lejos de la curva original, además el error entre
ambas curvas se puede minimizar si se dan pasos muy pequeños al avanzar sobre la recta tangente
a la curvay además el intervalo sobre el que trabajamos es finito.

Ejercicio No.1:
Usar el método de Euler para integrar numéricamente la siguiente ecuación
𝑑𝑦
= −2𝑥 3 + 12𝑥 2 − 20𝑥 + 8.5
𝑑𝑥

Desde x=0 hasta x= 3 con un tamaño de paso h= 0.5. La condición inicial en x0=0 es y0= 1.
Sabiendo que la solución exacta la da la ecuación:
𝑦 = −0.5𝑥 4 + 4𝑥 3 − 10𝑥 2 + 8.5𝑥 + 1

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