análisis tensorial

CAPITULO VI: ANALISIS TENSORIAL
El análisis tensorial se centra en el estudio de entes abstractos llamados “tensores”, cuyas propiedades son independientes de los sistemas de referencia empleados para determinarlos. Un Tensor esta representado por un sistema de referencia, mediante un conjunto de funciones llamadas componentes igual que u vector esta determinado mediante sus componentes dadas.El que un conjunto dado represente un Tensor depende de la ley de transformación de estas funciones de un sistema coordenado a otro.
Cuando nuestro estudio se restringe a transformaciones de un sistema de coordenadas homogéneas a otro, los tensores que interviene son denominados tensores cartesianos.
Los tensores se clasifican por su orden según la forma particular a  la ley de transformaciónque obedecen, esta misma clasificación se refleja en el número de componentes que posee un tensor dado en un espacio n-dimensional.
Así en un espacio euclidiano tridimensional tal como un espacio físico ordinario el número de componentes de un tensor es igual a Donde n es el orden del tensor.
Si n es igual a cero tenemos  Escalar
Si n es igual a uno tenemos  Vector
Si n es igual a dos tenemos Díada
Si n es igual a tres tenemos  Triada
DIADAS Y DIADICAS.
DIADA.
Es el producto indeterminado de dos vectores

El producto indeterminado de vectores `por lo general no es conmutativo.

Al primer vector de una Díada se denomina antecedente y al segundo vector se denomina consecuente.
DIADICA.
Una Diádica (D) equivale a un tensor de segundo orden y siempre se representa por una sumafinita de Díadas.
 (1)
Si en cada Díada de D se intercambian los antecedentes y consecuentes la Diádica resultante se denomina Diádica conjugada y se denota como DC

Si cada Díada en (1) se reemplaza por un producto escalar de vectores, se llama escalar de la diádica y se denota por DS :
 Escalar
Si cada díada en (1) se sustituye por un producto vectorial de vectores el resultado se denominavector de la diádica y se denota de esta manera:
 Vector
PROPIEDADES DEL PRODUCTO INDETERMINADO DE VECTORES.
Estas obedecen a las leyes distributivas que son las siguientes:

MULTIPLICACION DE UNA DIADICA POR UN VECTOR.
Si es un vector cualquiera los productos escalares  y  son los vectores definidos respectivamente.
 Vectores
 Diádicas
DIADICA UNITARIA.
Se representa por la letra I Vectores unitarios
Coordenadas rectangulares.

Coordenadas cilíndricas.

Coordenadas esféricas.

 
Se cumple que:

PROPIEDADES DE DIADAS.
Definiendo las siguientes Díadas y
  Escalar
 Vectores
 Díada  

Se dice que una diádica D es auto conjugada o simétrica si:

Se dice que una diádica es antisimetrica si:

Cada diádica puede ser expresada únicamente como la suma de una diádicasimétrica y otra antisimetrica

CONVENIO DE SUMA DE INDICES REPETIDOS.
Cuando algunas sumatorias tenemos:

Las sumas anteriores se pueden representar o escribir  en una forma mas abreviada adaptando el convenio de que cuando se aparece un índice repetido ha de entenderse una suma respecto del mismo desde el valor 1 hasta el valor N a esto se conoce como el convenio de Einstein.
Ejemplo:
Seadonde el rango de variación de i, j es de 1 a 3, j es el índice repetido.
Desarrollar


NOTACION INDICIAL.
En la notación indicial se añaden letras como subíndices o superíndices que representan la cantidad tensorial deseada. (Ejemplo: ) el numero y la posición de los índices libres, directamente el carácter tensorial exacto de la cantidad expresada por notación indicial. Los tensores sedenotan por que tienen un índice libre, el vector se puede representar de dos formas  a continuación los siguientes términos que tiene solo un índice libre se consideran como cantidades tensoriales de primer orden.
Ejemplo:

i índice repetido
j índice libre
TENSORES DE SEGUNDO ORDEN.
Los tensores de segundo orden se denotan por símbolos que tienen dos índices libres, la díada arbitrarios D...