Calculo tensorial

Apéndice A

Nociones básicas sobre Cálculo Tensorial
A.1. Introducción
El concepto de tensor tiene su origen en la evolución de la geometría diferencial de Gauss, Riemann y Christoffel. La necesidad del cálculo tensorial, conocido también como cálculo diferencial
absoluto, como rama sistemática de la matemática, se debe a Ricci y a su discípulo Levi-Civita, que
publicaron en colaboración elprimer trabajo sobre esta materia: Métodos del cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones, en "Mathematische Annalen", vol.54 (1901).
El objeto principal del cálculo tensorial es la investigación de las relaciones que permanecen
invariantes cuando se cambia de un sistema de coordenadas a otro. Las leyes de la física no pueden
depender del sistema de referencia que elija el físico con finesdescriptivos. Por eso, es estéticamente
deseable y muchas veces conveniente, utilizar el cálculo tensorial como fundamento matemático en
que se puedan formular tales leyes. Einstein, en particular, lo consideró un excelente instrumento para
la presentación de su teoría general de la relatividad.
El cálculo tensorial alcanzó gran importancia y es hoy día indispensable en sus aplicaciones en lamayoría de las ramas de la física teórica.

A.2. El convenio de sumación de Einstein
Una suma cuyos sumandos se obtengan dando los valores 1, 2, . . . , n a ciertos subíndices de su
término general, se indica comúnmente con el símbolo ∑ junto con la indicación del intervalo de
variación y la forma del término general. Por ejemplo:
n

a1 b1 + a 2 b2 + · · · + a n bn = ∑ ai bi
i=1

na1 b j c1 + a 2 b j c2 + · · · + a n b j cn = ∑ ai b j ci
i=1

En el cálculo tensorial aparecen con mucha frecuencia sumas del tipo de los dos ejemplos anteriores
en que la suma se verifica respecto de dos subíndices repetidos de su término general. En este caso es
cómodo y abrevia mucho la escritura convenir que, para tales subíndices, se suprimirá el símbolo de
la suma, estableciendo asíel siguiente convenio:
Cuando en una expresión monomia figuren dos subíndices repetidos, se entenderá que se trata de
una suma en la que los subíndices repetidos van sumados de 1 a n.
157

APÉNDICE A. NOCIONES BÁSICAS SOBRE CÁLCULO TENSORIAL

158

La letra n hace referencia a la dimensión del espacio y su valor resulta siempre claro del tema que
se está tratando. Es conveniente sercuidadoso porque cuando no se quiera expresar la suma habrá que
indicarlo explícitamente.
Usando el convenio de Einstein los ejemplos anteriores se escribirían como:
n

∑ ai bi = a i bi

i=1
n

∑ ai b j ci = a i b j ci

i=1

A.3. Representación de un vector en un sistema cartesiano
En primer lugar veamos cuál es el sistema de referencia que vamos a emplear para representar a
losvectores. Vamos a distinguir entre dos tipos de sistemas de referencia atendiendo a la orientación
relativa de sus vectores básicos:
Directo: se llama así al S.R. que tiene sus vectores básicos orientados de tal forma que el producto mixto1 de los tres resulta ser 1:
e1 · (e2 ∧ e3 ) = 1
Dicho de otra manera, cuando un sacacorchos girando del primer vector al segundo por el
menor ángulo avanza en ladirección y sentido del tercer vector. Este tipo de sistema también es
llamado en ocasiones diestro o dextrógiro.
Inverso: Se trata del caso opuesto al anterior. Ahora tenemos:
e1 · (e2 ∧ e3 ) = −1
o si un sacacorchos girando del primer vector al segundo por el menor ángulo avanza en la
misma dirección pero sentido opuesto al del tercer vector. Este tipo de sistema también es
conocido con elnombre de levógiro.
Consideremos un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales (x, y, z) con el origen en el punto
inicial del vector v. El sistema se orienta de tal forma que cumpla la condición de sistema de referencia
directo. El vector v queda representado por una terna ordenada de números reales
v = (v1 , v2 , v3 )
donde v1 , v2 y v3 son respectivamente las proyecciones del...