Análisis

7.4. ESTIMACIÓN Y PRUEBAS DE HIPÓTESIS EN REGRESIÓN LINEAL

Las ecuaciones para obtener las estimaciones de los parámetros y hacer pruebas de hipótesis en regresión lineal con más de una variable explicativa utilizan nomenclatura que va más allá de los objetivos de este libro. Los resultados de las estimaciones y las pruebas de hipótesis de regresión lineal que presenta la paqueteríaestadística y la computadora, se basan en los resultados teóricos que garantizan las mejores estimaciones y pruebas (vea Martínez G.A. y Castillo M.A. 1987). Con base en lo anterior se presentarán los listados de computadora con los resultados de estimación y pruebas de hipótesis, discutiendo la forma correcta de utilizarlos. Para facilitar a los lectores el paso a otros libros de texto, se presentarán condetalle los métodos de estimación y pruebas de hipótesis para regresión lineal simple (una variable explicativa) en la sección 7.4.10.

7.4.1. Estimación en regresión lineal

En un problema de regresión lineal se define la variable respuesta y las variables explicativas, se especifica el modelo de regresión: la ecuación de regresión y la distribución normal con varianza constante de la variablerespuesta, se toma una muestra y se pide al paquete estadístico la ecuación de regresión estimada y las pruebas de regresión en el procedimiento de regresión múltiple, especificando la variable respuesta y las variables explicativas.

PARÁMETROS Y ESTIMADORES EN LA REGRESIÓN DE Y SOBRE x1, x2,..., xk. |
PARÁMETRO | ESTIMADOR |
β0 | |
βx1 ó β1 | |
βx2 ó β2 | |
... | ... |
βxk óβk | |
σ2Y/x1,x2,x3 | |
| |
| |
| |
... | ... |
| |
para valores de x1,x2,...,xk dados | para valores de x1,x2,...,xk dados, también se usa |
, para valores de x1,x2,...,xk dados | , para valores de x1,x2,...,xk dados |
Predicción de Yx1,x2,...,xkpara valores de x1,x2,...,xk dados | para valores de x1,x2,...,xk dados |
Nota: Las ecuaciones de cálculo serepresentan usando notación matricial y no se ven en el texto. En un problema específico se sustituyen por Y, x1, x2, ..., xk los nombres de las variables. Las estimaciones, o valores que toman los estimadores en los datos se obtienen con un paquete estadístico. |

Ejemplo. Regresión lineal 1. Estimación

Nitrógeno, fósforo y potasio son tres nutrientes que determinan el rendimiento de grano de trigo.En un estudio se usaron tres dosis de cada uno de los tres nutrientes mencionados y se tuvieron 27 parcelas de cuatro metros cuadrados, en cada una de ellas se adicionó una de las 27 combinaciones de dosis de nutrientes, al término del cultivo se cosechó el trigo y se midió la cantidad de grano producido en cada parcela; las dosis de los nutrientes y el peso del grano cosechado se expresan enkilogramos por hectárea. Los datos se presentan en la tabla siguiente, la base de datos tiene la misma estructura que la tabla, con cuatro columnas, una para cada variable y 27 renglones con datos, uno por cada caso.

Nitrógeno (N) kg/ha | Fósforo (F)kg/ha | Potasio (P)kg/ha | Grano (G)kg/ha |
80 | 60 | 40 | 4216.7 |
80 | 60 | 80 | 4903.9 |
80 | 60 | 120 | 5756.6 |
80 | 90 | 40 | 5109.7 |80 | 90 | 80 | 4858.8 |
80 | 90 | 120 | 5094.1 |
80 | 120 | 40 | 5215.3 |
80 | 120 | 80 | 5385.0 |
80 | 120 | 120 | 6495.8 |
120 | 60 | 40 | 5976.0 |
120 | 60 | 80 | 5396.0 |
120 | 60 | 120 | 4114.5 |
120 | 90 | 40 | 5437.0 |
120 | 90 | 80 | 4913.6 |
120 | 90 | 120 | 8217.8 |
120 | 120 | 40 | 6288.3 |
120 | 120 | 80 | 7511.3 |
120 | 120 | 120 | 7731.1 |
160 | 60 | 40 |7007.9 |
160 | 60 | 80 | 6556.4 |
160 | 60 | 120 | 6879.8 |
160 | 90 | 40 | 6760.3 |
160 | 90 | 80 | 6209.1 |
160 | 90 | 120 | 6988.8 |
160 | 120 | 40 | 7283.6 |
160 | 120 | 80 | 6509.5 |
160 | 120 | 120 | 8368.7 |

La zona de exploración que cubren las variables explicativas está dada por los valores que toman en la muestra; una forma fácil pero a veces demasiado optimista...