Aplicación del cálculo diferencial en la economía

Introducción

El cálculo diferencial es una parte importante del análisis matemático y dentro del mismo del cálculo infinitesimal. Consiste en el estudio del cambio de las variables dependientes cuando cambian las variables independientes de las funciones o campos objetos del análisis. El principal objeto de estudio en el cálculo diferencial es la derivada.
El presente trabajo tiene porobjeto mostrar su relación con la economía, con base en problemas similares a los de la física que dieron origen al cálculo, pero con otro tipo de lenguaje , y ejercicios que ayuden a desarrollar y a rearmar los conceptos básicos del cálculo, y tener un panorama más amplio en cuanto a la aplicación que se le puede dar al cálculo.
En este trabajo se presenta una exposición de cómo se pueden enriqueceralgunos temas del cálculo, brindando un material propio extra clase que ayude a entender y comprender los conceptos vistos en el aula.
En los siguientes capítulos se muestran diversas aplicaciones de los temas de funciones, derivadas, máximos y mínimos, dibujo de gráficas, integración, ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden y una introducción a varias variables; los cuales fueronlos contenidos encontrados respecto al cálculo diferencial.

Contenido

Una de las aplicaciones en la economía es cuando se produce un bien o se presta un servicio se genera un costo para una organización, que puede ser de tipo comercial, industrial, etc. Esto conlleva a las funciones de costo, que pueden ser de diferentes tipos:
Función de costo total:
La función costo total Q(x) es unarelación cuyo dominio es un subintervalo A de R+ que representa la cantidad de producción y cuyo codominio es R+ = (0; 1) elevado a la 1 ; es decir,

Q : A ½ R+ ! R+!
x Q(x)

Esta función representa el dinero que sale de una organización y se encuentra determinada en términos de dos componentes : costo variable y costo. Donde los costos variables representan los costos de lasmaterias primas y los costos relacionados con la mano de obra, entre otros; los costos representan los costos en los que se incurre, por ejemplo, por concepto de renta del edificio y manutención de la organización. así:
Costo total = Costo variable + Costo

EJEMPLOS :

1.- Una empresa desea adquirir un auto más, para el reparto de sus productos; el costo de adquisición del nuevo auto es de$50,000 se ha estimado que el costo por operar el auto es de $2 por kilómetro recorrido y que puede recorrer 100,000 kilómetros antes del primer ajuste.
Determinar la función costo total para este caso, considerando la obtención y operación del nuevo auto.
Solución:
50,000 representa el costo total
2 representa el costo total variable.
Sea x el número de kilómetros recorridos, entonces :
Q(x) =2x + 50; 000
donde x= 2 (0; 100 000) ½ R+ : representa el costo del auto al recorrer x kilómetros.

2.- En una fábrica se desea encontrar la función costo total Q(x) para una máquina que tiene un valor en libros de $10,000, un costo por combustible de $5 por semana, un costo por el pago del operador de $10 por semana y cuenta con garantía de 5 años. Determinar la función costo total querepresente el caso anterior.
Solución:
Sea x el número de semanas que va a estar en funcionamiento la máquina, 5 años son 260 semanas, entonces, Q(x) = 15x + 10; 000
donde x =2 (0; 260) ½ R+ ; representa el costo de la máquina si se utiliza x semanas.
Función costo promedio.

Anteriormente se definió la función costo total Q(x). Ahora se define una función q(x) que se llama función costo promedio,la cual se refiere al costo por producir una sola unidad, es decir,
q : A ½ R+ ! R+
x !q(x)
donde, q(x) =Q(x):
x

Es claro que los valores del dominio no son arbitrariamente grandes ya que representan la cantidad de producción de un artículo, y la cota superior de dicho intervalo está determinada por el productor al tomar en cuenta la cantidad...