Aplicacion de derivadas en alimentos

Sea f una función derivable en todo su dominio.
En el entorno del punto a podemos aproximar la función por la recta
y(x) = f(a) + f ’(a) (x-a)
esto es, la aproximación f(x)[pic] f(a) + f ‘(a)(x-a) es correcta cuando (x-a) es pequeño.
De forma más precisa podemos decir que la función diferencia f(x) – y(x) es un infinitésimo de orden superior a (x-a):
[pic] =  0
|[pic]|[pic] |
| |[pic] |

Vemos en el dibujo que el valor del cocienteincremental [pic]es igual a la pendiente de la secante a la curva que pasa por los puntos (a, f(a)) y (x, f(x)).
En el límite, cuando x tiende a ‘a’, la secante tiende a la tangente a la curva en a y, portanto, la derivada de la función representa la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto.
La recta tangente es y = f(a) + f'(a) · (x-a).

La virulencia de cierta bacteria se mide en unaescala de 0 a 50 y viene expresada por la función V(t)= 40+15t-9t2+t3, donde t es el tiempo(en horas) transcurrido desde que comienzo en estudio (t=0). Indicar los instantes de máxima y mínimavirulencia en las 6 primeras horas  y los intervalos en que esta crece y decrece.
Solución
Para que la función  tenga un máximo o un mínimo la derivada debe ser cero.
 V´(t)= 15-18t+3t2, igualando a 0,3t2-18t+15=0
Simplificando  t2-6t+5=0, cuyas soluciones son 5 y 1.
Ahora voy a ver  quien  es el máximo y quien el mínimo de la función, en el intervalo [0, 6], que tiene que estar entre estos dosvalores junto o en los extremos del intervalo (por el teorema de Weirtrars).
Ordenamos la función V por comodidad, V(t)= t3-9t2+15t+40
V(0)=40
V(5)=125-225+75+40 =15
V(1)=1-9+15+40= 47V(6)=216-324+90+40=22
La máxima virulencia es a las 1 horas y la mínima a las 5 horas.
Para ver los intervalos de crecimiento y decrecimiento estudiamos el signo de la derivada: V’(t)=3t2-18t+15

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