Aplicacion de las derivadas, (valores máximos y mínimos, razón de cambio, concavidad, etc)

RAZON DE CAMBIO
Comenzando por la Razón Instantánea de Cambio de una función cuya variable independiente es el tiempo t. suponiendo que Q es una cantidad que varía con respecto del tiempo t, escribiendo Q=f(t), siendo el valor de Q en el instante t. 
Por ejemplo
El tamaño de una población (peces, ratas, personas, bacterias,…)
La cantidad de dinero en una cuenta en un banco
El volumen de unglobo mientras se infla
La distancia t recorrida en un viaje después del comienzo de un viaje
El cambio en Q desde el tiempo t hasta el tiempo t+t", es el incremento
La Razón de Cambio Promedio de Q (por la unidad de tiempo) es, por definición, la razón de cambio "Q en Q con respecto del cambio "t en t, por lo que es el cociente
Definimos la razón de cambio instantánea de Q (por unidad detiempo) como el límite de esta razón promedio cuando "t!0. Es decir, la razón de cambio instantánea de Q es

Lo cual simplemente es la derivada f’(t). Así vemos que la razón de cambio instantánea de Q=f(t)




La interpretación intuitiva de la razón de cambio instantánea, pensamos que el punto P(t,f(t)) se mueve a lo largo de la gráfica de la función Q=f(t). Cuando Q cambia con eltiempo t, el punto P se mueve a lo largo da la curva. Pero si súbitamente, en el instante t, el punto P comienza a seguir una trayectoria recta, entonces la nueva trayectoria de P corresponde que Q cambia a una razón constante.
También como conclusión tenemos que si la pendiente de la recta tangente es positiva ésta es ascendente y si le pendiente es negativa ésta es descendente, así


Q es creciente enel instante t si





Q es decreciente en el instante t si

La derivada de cualquier función, no solamente una función del tiempo, puede interpretarse como una razón de cambio instantánea con respecto de la variable independiente. Si y=f(x), entonces la razón de cambio promedio de y (por un cambio unitario en x) en el intervalo [x,x+"x] es el cociente.VALORES MAXIMOS Y MINIMOS DE UNA FUNCION

 
 

Si f es una función dada, entonces  es un valor máximo relativo de f, si existe un intervalo abierto  tal qué  y  para , siendo x un valor del dominio de la función. 

Si  para toda x en el dominio de f, entonces  es el valor máximo de f o máximo absoluto. 

Similarmente,  es un valor mínimo relativo de la función f, siexiste un intervalo abierto  tal qué  y  para , con x en el dominio de f. 

Si  para toda x en el dominio de f, entonces se dice que  es el valor mínimo de dicha función. También se llama mínimo absoluto. 

EJEMPLO:
Considere una función f definida en un intervalo , cuya representación gráfica es la siguiente:

Note que F(X1), es un máximo relativo y F(X3)  es el máximo valor que toma lafunción en el intervalo en que está definida.

Similarmente, F(X4) es un valor mínimo relativo y F(X2) es el mínimo absoluto de la función en ]c,d[.
TEOREMA 2
Sea c un punto interior del dominio de una función f. 
Si  es un valor máximo relativo de f y si existe  entonces. 


EJEMPLO: 
Considere la función f definida por

 

Su representación gráfica es la siguiente:

 
Puedeobservarse que cuando x toma el valor de  entonces la función tiene un valor máximo. En este caso  es precisamente el vértice de la parábola con ecuación: . 

Según el teorema anterior debe cumplirse que  es igual a cero. 

En efecto, como , al sustituir x por -2 se obtiene que, que era lo que quería comprobarse. 

TEOREMA 3
Sea c un punto interior del dominio de una función f. Si  es un valormínimo  relativo de f y si  existe, entonces. 

La demostración es similar a la del teorema anterior.

EJEMPLO: 
 
Considere la función f definida por:



Su representación gráfica es la siguiente:

 
Note que la función f tiene un valor mínimo en  dado por. El punto  es el vértice de la parábola con ecuación. 

De acuerdo con el teorema  debe cumplirse que  sea igual a cero. ...