Aplicacion de las ecuaciones diferenciales parabólicas

APLICACIÓN - ECUACIONES PARABÓLICAS

ECUACION DE CALOR (UNA DIMENSION ESPACIAL)

Hallar la temperatura para t = 0.3 de una barra de 1m cuyos extremos se mantienen a 60ºC y a 70ºC. La temperaturainicial de la barra es de 100ºC y el coeficiente k = 0.1. Tomar Δx = 0.2m y Δt = 0.1s. Justificar la aplicabilidad del método explícito.

0 0,2 0,4 0,60,8 1
x
t
0,1
0,2
0,3
100ºC
100ºC
100ºC
100ºC
60ºC
60ºC
60ºC
60ºC
70ºC
70ºC
70ºC
70ºC

METODO EXPLÍCITO

Molécula Explicita
T
i
l
T
i
l + 1
T
i-1
l
Ti+1
l

*Convergencia
λ = k∆t∆x2 ≤ ½
λ = 0.1∙0.10.22=0.25
T
i
l + 1
=
T
i
l
+
λ[ ]
T
i+1
l
-2
T
i
l
+
T
i-1
l

* Ajuste de las condicionesiniciales y de frontera:
T00 = 60, T10 = T20 = T30 = T40 = 100, T50 = 70
* Instante t = 0.1

T11 = (T00 + T20)/4 + T10/2 = (60+100)/4 + 100/2 = 90
T21 = T31 = 100
T41 = (T30 + T50)/4 + T40/2 =(100+70)/4 + 100/2 = 92.5
* Instante t = 0.2:
T12 = 75 T22 = 97.5
T32 = 98.125 T42 = 81.25
* Instante t = 0.3:
T13 = 66.875 T23 = 92.0313
T33 = 93.75 T43 =75.1563

Se grafican todas las temperaturas obtenidas en diferentes tiempos:

METODO IMPLICITO

Molécula implícita

T
i
l + 1
T
i-1
l+1
T
i
l + 1
T
i+1
l+1

*Convergencia
Paratodo λ

T
i
l
=
λ
T
i-1
l+1
+
(1 + 2λ) - λ

T
i
l + 1
T
i+1
l+1

Para t = 0.1
1.5T11 - 0.25T21 = 115
-0.25T11 + 1.5T21 - 0.25T31 = 100-0.25T21 + 1.5T31 - 0.25T41 = 100
- 0.25T31 + 1.5T41 = 117.5

T11 = 93.111
T21 = 98.671
T31 = 98.915
T41 = 94.819

Para t = 0.2
1.5T12 -0.25T22 = 108.111
-0.25T12 + 1.5T22 - 0.25T32 = 98.671
-0.25T22 + 1.5T32 - 0.25T42 = 98.915
- 0.25T32 + 1.5T42 = 112.319...