Aplicaciones de derivada



1. Encuentra en cada una de las funciones los intervalos en los cuales son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavas hacia abajo:






En el intervalo (-0.408,0.408) lacurva es cóncava hacia arriba.









En el intervalo (-∞,-2.4495) es cóncava hacia arriba, en (-2.2295,0) es cóncava hacia abajo, en (0,2.4495) es cóncava hacia arriba y en(2.4495,∞) es cóncava hacia abajo.








En el intervalo (-∞,-1) es cóncava hacia abajo, en (-1,0) es cóncava hacia arriba, en el punto (0,4) es cóncava hacia abajo, en (0,1) es cóncava haciaarriba y en (1,∞) es cóncava hacia abajo.









E


1. Encuentra en cada una de las funciones los intervalos en los cuales son cóncavas hacia arriba y en los que son cóncavashacia abajo:
a) f(x)=x^4-x^2
f^' (x)=4x^3-2x
f^'' (x)=12x^2-2
12x^2-2=0
12x^2=2
x=√(1/6)= ±0.408
En el intervalo (-0.408,0.408) la curva es cóncava hacia arriba.

b) f(x)=x/(x^2+2)f^' (x)=(2-x^2)/(x^4+4x^2+4)
f^'' (x)=(2x^3-12x)/(x^6+6x^4+12x^2+8)
(2x^3-12x)/(x^6+6x^4+12x^2+8)=0
2x^3-12x=0
2x(x^2-6)=0
x^2=6
x=√6=±2.4495
En el intervalo (-∞,-2.4495) es cóncavahacia arriba, en (-2.2295,0) es cóncava hacia abajo, en (0,2.4495) es cóncava hacia arriba y en (2.4495,∞) es cóncava hacia abajo.

c) f(x)=(x^2-1)/(x^2+1)
f^' (x)=4x/(x^4+2x^2+1)
f^''(x)=(4-12x^2)/(x^6+3x^4+3x^2+1)
(4-12x^2)/(x^6+3x^4+3x^2+1)=0
4-12x^2=0
-12x^2=-4
x=√(1/3)=±0.577
En el intervalo (-∞,-1) es cóncava hacia abajo, en (-1,0) es cóncava hacia arriba, en el punto(0,4) es cóncava hacia abajo, en (0,1) es cóncava hacia arriba y en (1,∞) es cóncava hacia abajo.

d) f(x)= √(x^2-9)
f^' (x)=x/√(x^2-9)
f^'' (x)=(9√(x^2-9))/(x^4-18x^2+81)(9√(x^2-9))/(x^4-18x^2+81)=0
9√(x^2-9)=0
√(x^2-9)=0
x^2-9=0
x=√9=±3
En el intervalo (-∞,-3) es cóncava hacia arriba, en (-3,3) se tiene una indeterminación y en (3,∞) es cóncava hacia arriba.