Aplicaciones de la derivada

Índice
Unidad V: APLICACIONES DE LA DERIVADA
5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto.
Curvas Ortogonales…………………………………………………………………Pág. 2

5.2 Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange o Teorema del valor medio del cálculo diferencial……………………………………………………………………….Pág. 4
5.3 Función creciente y decreciente………………………………………………...Pág. 7
5.4 Análisis de la variación defunciones…….……………………………………..Pág. 8
5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial…………………………..Pág. 9
5.6 Problemas de optimización y de tazas relacionadas………………………..Pág.10 
5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas Ortogonales.

Una recta tangente a una curva en un punto, es una recta que al pasar por dicho punto y que en dicho punto tiene la misma pendiente de la curva.
Siuna función y = f (x) posee una derivada en el punto X1, la curva tiene una tangente en P(X1, Y1) cuya pendiente es: m1= tan θ= dy = f’(x1).
dx x=x1
Se sabe que la ecuación de la recta que pasa por un punto y con una pendiente dada es:
y – y1 = m (x – x1). Por lo tanto, si se sustituye la pendiente por la derivada, la ecuación de larecta tangente en un punto de una curva es:
y – y1 = dy m (x – x1)
dx x=x1
Si m = 0 tiene tangente horizontal a la curva. Si m = ∞ tiene tangente vertical a la curva.

Una recta normal a una curva en uno de sus puntos es la recta que pasando por dicho punto es perpendicular a la recta tangente en él.
La condición de perpendicular entre dos rectas es:

m1m2= -1 ⇒ m2=- 1 = - 1_
m1 dy
dx x=x1

La ecuación de la recta normal en el punto P (x1, y1) es:
y- y1=- 1 (x-x1)
m1 x=x1


1) y = 3x2 - 5x + 4 P (2,6)
Solución:

m1= dy = 6x-5 x=2 = 6(2) -5 = 12 – 5 = 7
dx
y-6 = 7(x-2) ⇒ y-6 = 7x -14 ⇒ 7x-y-8 = 0 (recta tangente)

m2 =- 1_=- 1_
m1 7
y-6 = - 1 (x-2) ⇒ 7 (y-6) = -(x-2) ⇒ 7y -42 =-x+2 ⇒ x+7y – 44 = 0 (recta normal)

Curvas ortogonales

Se dice que las curvas de las funciones f(x) y g(x) que se intersectan en el punto P son ortogonales si el ángulo entre ellas es de 90°, es decir, cuando las rectas tangentes de ambas funciones son en dicho punto son perpendiculares entre sí.

Por lotanto en el punto de intersección de las curvas ambas pendientes, o lo que es lo mismo las derivadas, en ese punto satisfacen:

m1m2 = df dg
dx p dx p

Ejemplo:

Sean dos funciones y tales que se intersectan en (2, 2) como se ilustra en la figura.
Determinar si las funciones cumplen la condición de ortogonalidad y escribir las expresiones delas rectas tangentes para ambas funciones en dicho punto.

Solución:

Las funciones son:






Cuyas derivadas son:





Cuando x=2, tenemos:






Verificando la condición de ortonormalidad:


Por lo que se puede afirmar que las rectas son ortogonales en el punto de intersección (2, 2).

Para las rectas solicitadas se hallan usando el punto de intersección (2, 2) y lapendiente de cada una de ellas. Usando la ecuación punto-pendiente de la recta y sustituyendo tenemos:



Para la función f:




Para la función g:



La gráfica de las funciones y sus rectas tangentes se muestran en la siguiente figura. El ángulo que forman estas rectas se puede ver que es de 90°.


5.2 Teorema de Rolle, Teorema de Lagrange o Teorema del valor medio del cálculodiferencial.
Teorema de Rolle
Establece condiciones suficientes para garantizar la existencia de un valor extremo en el interior de un intervalo cerrado. Sea y = f (x) una función que cumple con las condiciones siguientes:
• y = f (x) es continua en el intervalo cerrado [a,b]
• y = f (x) es derivable en el intervalo abierto (a,b)
• f (a) = f (b)
Por lo tanto existe, al menos un valor...