Aplicaciones De La Derivada

Páginas: 9 (2065 palabras) Publicado: 2 de marzo de 2013
APLICACIONES DE LA DERIVADA
Ecuación de la tangente:

������ − ������ (������) = ������′(������)(������ − ������)

Ecuación de la normal:

������ − ������(������) = −

Segmento tangente |������������ |:

1
(������ − ������)
������′(������)

������ (������)
|������������| = �
� �1 + [������′(������)]2
������′(������)

Segmento normal |������������ |:

Segmento subtangente|������������|:
Segmento subnormal |������������ |:

tan ������ =

Ángulo entre curvas

������ = arctan �

������������ − ������������
1 + ������������ ������������

|������������| = |������(������)|�1 + [������′(������)]2
������ (������)
|������������| = �

������′(������)

|������������ | = |������(������) ∗ ������′(������)|

������′(������) − ������′(������)

1 +������′(������)������′(������)

E jemplos
1) En las siguientes funciones, hallar los ángulos bajo los que el gráfico de las funciones
cortan al eje de las abscisas:
a) ������(������ ) =

������
������+1

Como corta al eje de las abscisas en ������ = 0, entonces:
0=

������
������ + 1

������ = 0

La pendiente se calcula con la derivada de la función:
������ ′ (������) =

(������ + 1)(1) − ������ (1)
1
=
2
(������ +1)2
(������ + 1)

Y la tan ������ representa la pendiente en función del ángulo, entonces:
tan ������ =

tan ������ =

b) 4������ 3 − 2������ 3 = ������

1
(������ + 1)2
1
(0 + 1)2

tan ������ = 1
������ =

������
4

Como corta al eje de las abscisas en ������ = 0, entonces:

4������ 3 − 2 ∗ 03 = ������
4������ 3 − ������ = 0

������ (2������ + 1)(2������ − 1) = 0
������= 0

⎪ ������ = 1
2

1
⎪������ = −

2

La pendiente se calcula con la derivada de la función:

12������ 2 − 6������ 2 ������ ′ = 1
������ ′ =

12������ 2 − 1
6������ 2

Y la tan ������ representa la pendiente en función del ángulo, entonces:
1) ������ = 0 ; ������ = 0
12(0)2 − 1
tan ������ =
6(0)2
−1
������ = arctan � �
0
3
������ = ������
2

tan ������ =12������ 2 − 1
6������ 2

2) ������ = 2 ; ������ = 0
1

tan ������ =

12
12 �2� − 1

6(0)2
2
������ = arctan � �
0

3) ������ = − 2 ; ������ = 0
1

tan ������ =

12
12 �− 2� − 1

6(0)2
2
������ = arctan � �
0

1
������ = ������
2

������ = 6������ − ������ 2
c) �
������ = 3������

1
������ = ������
2

Como corta al eje de las abscisas en ������ = 0, entonces:
0 =3������
������ = 0

La pendiente se calcula con la derivada de la función:
������ ′ = 6 − 2������

������ ′ (������) =

;

������ ′ = 3

3
3
1
������ ′
=
=
=

������
6 − 2������ 6 − 2(0) 2

Y la tan ������ representa la pendiente en función del ángulo, entonces:
tan ������ =

1
2

������ = 0.46364
2) En las siguientes funciones, hallar los puntos en los que las tangentes algráfico de la
función son paralelos al eje de las abscisas:
a) ������(������ ) =

1

√1−������ 2

−2������

La pendiente se calcula con la derivada de la función:

������

������
������ ′ (������) = − 2√1 − 2 =
1 − ������
�(1 − ������ 2 )3
2

Como la recta tangente es paralela al eje de las abscisas, entonces tiene pendiente igual a cero, es
decir:

������

�(1 − ������ 2 )3������ = 0

=0

Remplazando el valor de ������ en la ecuación principal, nos da:
������ =

1

√1 − 02

=1

Entonces, el punto donde la recta tangente a la gráfica de ������(������ ) es paralela al eje de las abscisas es:
b) ������(������ ) = ������ + √1 − ������ 2

������ = (0, 1)

−2������

La pendiente se calcula con la derivada de la función:
������ ′ (������) = 1 +

2√1 −������ 2

=1−

������

√1 − ������ 2

Como la recta tangente es paralela al eje de las abscisas, entonces tiene pendiente igual a cero, es
decir:
1−

������

√1 − ������ 2

=0

�1 − ������ 2 = ������
1 − ������ 2 = ������ 2
2������ 2 = 1

������ = ±

√2
2

Remplazando el valor de ������ en la ecuación principal,...
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