Aplicaciones De La Derivada

APLICACIONES DE LA DERIVADA

1. RECTA TANGENTE A UNA CURVA [pic]

La pendiente de la recta tangente a una función en un punto [pic] es el valor de la derivada de la función en ese punto [pic],así la ecuación de la recta tangente a una curva en un punto [pic] es [pic]

[pic]


INFORMACIÓN EXTRAIDA DE LA PRIMERA DERIVADA


Observa la gráfica siguiente y ten en cuenta larelación entre derivada en un punto y la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto.

















1. RELACIÓN ENTRE CRECIMIENTO Y DERIVADA

[pic] derivable ycreciente en [pic] [pic] [pic]
[pic] derivable y decreciente en [pic] [pic] [pic]


Ejemplo:

[pic] es derivable en todo [pic] y su derivada es [pic]. La gráfica es


se observa que en[pic]la función es creciente (de hecho, es creciente en todo su dominio), luego la derivada en ese punto tendrá que ser mayor o igual a 0. Efectivamente [pic]( [pic]

2. CRITERIO PARA IDENTIFICARINTERVALOS CRECIENTES O DECRECIENTES

[pic]es creciente
[pic] es decreciente


3. MÁXIMOS Y MÍNIMOS RELATIVOS











1. CONDICIÓN NECESARIA DE MÁXIMO O MÍNIMORELATIVO

Si [pic] es derivable en [pic], entonces
[pic]tiene un máximo o un mínimo en [pic][pic][pic]

Sin embargo no es una condición suficiente, porque puede ocurrir que la derivadaen un punto valga 0 y que no haya máximo ni mínimo , como en [pic]en el ejemplo [pic].


2. REGLA PARA SABER SI UN PUNTO SINGULAR ES MÁXIMO O MÍNIMO RELATIVO

Para saber si un puntosingular (puntos que anulan la derivada) es máximo o mínimo relativo de una función estudiaremos el signo de la derivada primera de la función.

Ejemplo:

[pic]

[pic]


Si calculamos suderivada y estudiamos el signo se tiene, [pic]

| |[pic] -3 |-3 3|3 |
| |...