Aplicaciones De La Geometria

Aplicaciones a la Geometría
Yoan Hernández Rodríguez
Correo: Yoanh@uclv.edu.cu
Facultad de Matemática, Física y Computación, UCLV. Cuba
Resumen: La geometría como un marco de trabajo para la descripción y medida de las figuras fue
desarrollada empíricamente en muchas culturas hace varios miles de años. La geometría como una
ciencia que compila una colección de proposiciones abstractasacerca de formas ideales y pruebas de
estas proposiciones, fue fundada alrededor de los 600 años a.C. en la cultura Griega por Thales, quién de
acuerdo a la leyenda propuso varios teoremas en geometría.
Muchas han sido las herramientas diseñadas para la resolución de problemas geométricos. En este
trabajo se propone una herramienta mas, basada en un concepto físico como lo es el de “Centro deMasa”. Inicialmente se muestran una serie de definiciones y propiedades imprescindibles. Además se
proponen ejemplos clásicos de la geometría plana para ilustrar la aplicabilidad y eficiencia de este
método.Centro de Masa
Definición:
En el plano está dado un sistema de puntos a los cuales se le asocian determinadas masas, es decir se
tiene el conjunto de pares donde los , sonpuntos del plano y los ,
, los valores de las masas asociadas.
Definiremos el Centro de Masa del sistema de puntos con masas al punto O
para el cual se cumple , donde es el vector nulo.
Ejemplos:
n = 2


(1)
¿Cómo se determina la posición del punto O (centro de masa) respecto a dos puntos?
Analicemos dos casos:
a)
Siendo unvector que posee modulo, dirección y sentido.
Sea el módulo del vector , entonces es un vector cuyo módulo es
.
Para el sistema analizado se cumple , pero como entonces


Para que se cumpla esta igualdad es necesario que: , es decir que sean vectores opuestos
(de igualmódulo) . De aquí que O esta en el punto medio de .
b)
¿Se encontrará en este caso el centro de masa en el punto medio del segmento?
. La igualdad significa que los vectores
son opuestos y tienen el mismo módulo.
Es válido aclarar que aclarar que , ; quiere decir que los
valores del módulo y la masa se complementan mutuamente para que se cumpla la igualdad.
De aquí que la posición de Oesta determinada por los valores de las masas.En este caso el punto O se encuentra mas cercano al punto de mayor masa.
Si , tenemos:
o sea están en la razón 2:1, lo que significa geométricamente lo siguiente:
Nota: La relación (2) es muy utilizada en la demostración de propiedades geométricas relacionadas con
razones entre segmentos.
Teorema: El centro de masa de cualquier sistema depuntos existe y es único.
Demostración:
Sean X y O puntos cualesquiera, entonces
.
El punto O es el centro de masa del sistema si y solo si
, pero como , entonces

(3)

Ahora como y , X no es el centro de masa del sistema.
De ser tenemos que X = 0, o sea que O esúnico.
Propiedades:
P1. El centro de masa esta determinado por los valores de las masas de los puntos a que pertenece.P1´. Para cualquier sistema de puntos si el centro de masa esta dado se pueden buscar valores de masa
tales que la posición de dicho centro no varía.
P2. Si X es un punto cualquiera del plano y O es el centro de masa de los puntos con masas
, entonces: ser .
Demostración:La demostración se desprende de la relación (3).
P3. La propiedad más importante del centro de masa y en la cual se basan casi todas sus aplicaciones es
en el agrupamiento de puntos.
Teorema sobre agrupamiento de puntos:
El centro de masa de un sistema de puntos permanece invariante si parte de los puntos del sistema se
sustituye por un punto el cual esta situado en su centro de masa y...