Aplicaciones De Las Derivadas

La Derivada
INTRODUCCIÓN
El deseo de medir y de cuantificar el cambio, la variación, condujo en el siglo XVII hasta la noción de derivada.
El estudio de las operaciones con derivadas, junto con las integrales, constituyen el cálculo infinitesimal. Los introductores fueron Newton y Leibnitz, de forma independiente. Los conceptos son difíciles y hasta bien entrado el siglo XIX no sesimplificaron. A ello contribuyó la aparición de una buena notación, que es la que usaremos. Las aplicaciones prácticas de esta teoría no dejan de aparecer.
 Tasa de variación media
Incremento de una función
Sea y = f(x) y a un punto del dominio de f. Suponemos que a aumenta en h, pasando  al valor a +h, entonces f pasa a valer
f(a +h), al valor h se le lama incremento de la variable, y a la diferenciaentre f(a +h) y f(a) el incremento de la función.
Tasa de variación media
Llamamos tasa de variación media (o tasa media de cambio)  T.V.M., de la función y =f(x) en el intervalo
 [a, b] al cociente entre los incrementos de la función y de la variable, es decir:
T.V.M. [a, b] = 
 
Ejemplo 1. Halla la tasa de variación media de la función
f(x) =3-x2 en el intervalo [0,2]
Solución
T.V.M. [0,2] = 
 
Ejercicio 1. Calcular b para que la tasa de variación media de la función f(x) = ln(x+b) en el intervalo [0,2] valga ln2.
Aplicación física de la derivada
         Consideremos la función espacio E= E(t).
         La tasa de variación media de la función espacio en  el intervalo  [t0, t]  es:  vM(t)=, que es lo que en Física llaman la  velocidad media en ese intervalo de tiempo, sicalculamos el límite cuando t tiende a t0, obtenemos la tasa instantánea, entonces:
La derivada del espacio respecto del tiempo es la velocidad instantánea.
Ejercicio 3. La ecuación de un movimiento es , , calcula la velocidad en el instante t =5.
         Solución
         v(t)=E’(t)= 2t -6     en el instante t =5 se tendrá : v(5)= 2.5 -6 =4
 Interpretación geométrica de la derivada
La tasade variación media de una función f en [a, a +h] es la pendiente de la recta secante a la gráfica de f que pasa por los puntos de abscisa a y a +h.
Si h tiende a cero, el punto a +h tiende hacia el punto a y la recta secante pasa a ser la recta tangente a la curva. Por lo tanto:
 
La derivada de la función en el punto a es la pendiente de la recta tangente en el punto (a,.f(a))
La ecuación dela recta tangente en dicho punto se puede expresar
     y - f(a) = f ´(a)(x-a)       .
Ecuación punto pendiente de la recta tangente a la gráfica de f,  pasa por el punto (a, f(a)) y tiene como pendiente la derivada de f en a, f’(a)
Ejemplo 3. En la figura se muestra la gráfica de y =-x2 +4x, una recta secante que pasa por el punto (1, 3) y la recta tangente en ese punto, que tiene por ecuacióny –3 = 2(x-1)
Ejercicio 4. Hallar la ecuación de la recta tangente aa la gráfica de f(x) = x2-x +5 en el punto de abscisa x=0
Ejercicio 5. ¿Qué valor debe tener a para que la recta y =-x +6 y la curva y =-ax2 +5x –1 sean paralelas en x = 1.
Indicación. Dos rectas son paralelas cuando tienen la misma pendiente
 
 Función derivada. Reglas de derivación. Cálculo de derivadas
 
La funciónderivada
La función que a cada que a cada x le hace corresponder f´(x) se llama la función derivada de f y se denota por f´.
Tabla de derivadas de algunas funciones elementales
1) f(x)  =k  f´(x) =0
2) f(x) =  xn  f´(x) = nxn-1
3) f(x) =   f´(x) = 
4) f(x) = ln x  f´(x) = 
5) f(x) = ex  = ex
6) f(x) = sen x  f´(x) = cos x
7) f(x) = cos x  f´(x) = -sen x
 Máximos y mínimos relativos (olocales) de funciones derivables
Si una función tiene un máximo o mínimo relativo (o local) se dirá que tiene un extremo relativo.
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Figura 2
Condición necesaria de extremo
Proposición.
Si f es derivable en el punto a y f tiene en a un extremo relativo, entonces f ‘ (a)=0.
Demostración. Si no fuera cierto y por ejemplo f ’(a)>0 entonces por la...