Aplicaciones de las ec. diferenciales de primer y segundo orden

“APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN”
Aplicaciones a la Biología:

Uno de los campos más fascinante del conocimiento al cual los métodos matemáticos han sido aplicados es el de la Biología. La posibilidad de que las matemáticas pudieran aun ser aplicadas exitosamente el estudio de varios procesos naturales de los seres vivos desde os microorganismos máselementales hasta la misma humanidad sorprende a la imaginación.

Crecimiento Biológico:

Un problema fundamental en la biología es el crecimiento, sea este el crecimiento de una célula, un organismo, un ser humano, una planta o una población. La ecuación diferencial fundamental era:

dy / dt = αy
con solución
y = ce
Donde c es una constante arbitraria. De esto vemos queel crecimiento ocurre si α > 0 mientras que el decaimiento (o encogimiento) ocurre sí α < 0.
Un defecto obvio de dicha ecuación diferencial anteriormente planteada y de su solución correspondiente es que si α > 0 entonces tenemos que y→∞ si t→∞ , así que a medida que el tiempo transcurre el crecimiento es limitado. Esto esta en conflicto con la realidad, ya que después detranscurrir cierto tiempo sabemos que una célula o individuo deja de crecer, habiendo conseguido el tamaño máximo.

Formulación Matemática:

Supongamos que “y” denota la altura de un ser humano (aunque como ya se ha mencionado, esto también puede referirse a otras cosas tales como el tamaño de las células). Tendríamos entonces:

dy / dx = F(y) y = Yo para t=0

Donde“Yo” representa la altura en algún tiempo especificado t = 0, y donde F es una función apropiada pero aun desconocida. Puesto que la función lineal F(y) = αy no es apropiada, ensayemos como una aproximación de orden superior dada por la función cuadrática F(y) = αy - βy² , y = Yo para t = 0.

Puesto que la ecuación F(y) = αy - βy² es de variables separables, tenemos

dy/ αy – βy² = dt ó ∫ dy / y (α – βy) = t + c

esto es, ∫1/α [1/y + β/α – βy]dy = t + c

= 1/α [ln y - ln (α – βy)] = t + c

Usando la condición y resolviendo en y = Yo en t = 0 se obtiene que:

Y = α/β _ _

1 + [α/β / Yo - 1] e

Si tomamos el limite de la ecuación anterior tenemos que: Cuando t→∞, vemos, ya que α> 0, que:

Ymax = lim Y = α / β

t→∞

Por simple álgebra encontramos:

Ymax = lim Y = Y1(Yo – 2YoY2 + Y1Y2)
t→∞ Y1² - YoY2

Ejemplo:

Las alturas promedios de los niños varones de varias edades se muestran en la siguiente tabla. Use estos datos para predecir la altura media devarones adultos con pleno crecimiento.

|Edad |Altura (pul) |
|Nacimiento |19.4 |
|1 año |31.3|
|2 años |34.5 |
|3 años |37.2 |
|4 años |40.3|
|5 años |43.9 |
|6 años |48.1 |
|7 años |52.5 |
|8 años...