Ecuaciones diferenciales de primer orden

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias MA-382

GUIA N◦ 1 Semestre I-2010 1. Resolver las ecuaciones (a) xy ′ + 2y = sen(x)
1 (b) y ′ + x y = 3 cos(x)

(e) x2 y ′′ + 2xy ′ = 2 (g) dy = (xy 2 + 3xy)dx (f) dx − dy(x + log(y)) = 0

(h) yy ′ + y 2 ctg(x) = csc2 (x)

(i) (2y + 1)dx = (2y 3 x2 + x2 y 2 − 2x)dy

2. Para las ecuaciones siguientes, identifiquela y resuelva por un m´todo e apropiado.(a) (b) (c)
dy dx dy dx dy dx

= = =

x3 −2y x 2x+y 3+3y 2 −x x x2 y+y 3 sin(x) x

dy (d) x dx + 2y =

(e) y 2 dx = (x3 − xy)dy

a 3. Pru´bese que la sustituci´n z = ax + by separar´ las variables en cualquier e o ecuaci´n de la forma o dy =f dx ax + by + c αx + βy

siempre que aβ = bα.

4. Encontrar la curva tal que en cada uno de sus puntos, la normal en dicho punto coincide conel segmento que une al punto con el or´ ıgen.

6. Demostrar que una ecuaci´n del tipo o φ (y) dy + xm φ x y (xdy − ydx) = 0

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puede transformarse mediante la sustituci´n x = vy en una del tipo de o variables separables. 1/4

.O.

5. Hallar una curva que pase por el punto (0, 2), de modo que la pendiente de la tangenteen cualquiera de sus puntos sea igual a la ordenada del punto, aumentada en 3 unidades

-UC

dy (f) (ex + 1) dx = y − yex

N-2 010

(d) y ′ + 2xy + x = e−x

(c) y ′ − 2y = x2 e2x

2

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7. (a) Mediante la sustituci´n z = xm y n , transformar la ecuaci´n o o φ (xm y n ) ydx + ψ (xm y n ) xdy = 0 en el tipo de variables separables (b)resolver √ √ 2 + 4x2 y ydx + x3 ydy = 0.

x = α1 u + α2 v transforma la ecuaci´n o

(a1 x + b1 y + c1 ) dx + (a2 x + b2 y + c2 ) dy = 0

en una ecuaci´n en las variables u y v son separables, si α1 y α2 son o soluciones de la ecuaci´n o a1 α2 + (a2 + b1 ) α + b2 = 0, y si α1 = α2 .

(b) Resolver (x − 4y − 3) dx + (4x + y − 6) dy = 0.

9. Demuestre que µ(x, y) = xy 2 es un factor integrante dela ecuaci´n o (2y − 6x)dx + (3x − 4x2 y −1 )dy = 0

11. Determine bajo que condiciones la funci´n µ(x, y) = h(xy) es un factor o integrante de la ecuaci´n o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

12. Demuestre que el cambio de variables

transforma la ecuaci´n o

en una ecuaci´n lineal en la variable u, si α1 es una ra´ de la ecuaci´n o ız o a1 α2 + (a2 + b1 ) α + b2 = 0,

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y si β es cualquier n´ mero tal que β = α1 . u 2/4

.O.

(a1 x + b1 y + c1 ) dx + (a2 x + b2 y + c2 ) dy = 0

-UC
x = α1 u + βv ;

10. Determine bajo que condiciones la funci´n µ(x, y) = h(x + y) es un factor o integrante de la ecuaci´n o M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0

N-2 010
; y =u+v y =u+v

8. (a) Pru´bese que el cambio de variables eEcuaciones Diferenciales Ordinarias MA-382

13. Use las sustituciones u = x + y y w =
2

y x

para resolver la ecuaci´n o
2

(x + y) (xdy − ydx) + y 2 − 2x2 (x + y)

(dx + dy) = 0.

14. Si y = f (x) e y = g (x) son soluciones distintas de la ecuaci´n y ′ +yP (x) = o Q (x) , demuestre que la soluci´n general es o

15. Supongamos que y = f (x) es una soluci´n de la ecuaci´n y ′ +yP (x) = o o 0. Para hallar la soluci´n de la ecuaci´n y ′ + yP (x) = Q (x) , h´gase o o a y = v (x) f (x) y determ´ ınese v (x) . (Esto proporciona otro m´todo para e resolver la ecuaci´n lineal). o
dy 16. Sea dx = |x| , si y = g (x) es la soluci´n particular de la ecuaci´n que o o 2 verifica que g (−1) = 7/2, se pide evaluar −2 g (x) dx

17. Resolver

3x + 2y + y 2 dx + x + 4y + 5y 2 dy =0.

Sabiendo que admite un factor integrante I (x, y) que es funci´n de x + y 2 . o 18. Demuestre que xk es un factor integrante de la ecuaci´n o M (x, y) dx + N (x, y) dy cuando ∂N Nk ∂M − = ∂y ∂x x

Teniendo en cuenta lo anterior, resolver (a) y 4 + x3 dx + 8xy 3 dy = 0.

(b) 3x3 + 3xy + 2y 2 dx + x2 + 2xy dy = 0 19. La ecuaci´n o

√ 3xy 2 + 7x3 dx + 4x2 y + 3 xy dy = 0

∂y ∂x 20....