ecuacion diferencial de segundo orden reducibles a primer orden

Ecuaciones Diferenciales de Segundo Orden
1
Ecuaciones de segundo orden
En forma normal:
x00 = f (t, x, x0)
Ejemplo:
2tx00 − x0 +
1
x0 = 0 , x00 =
(x0)2 − 1
2tx0
Casos ParticularesEcuaciones en las que no aparece la variable dependiente:
x00 = f (t, x0):
2tx00 − x0 +
1
x0 = 0 (t 6= 0)
Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente:
x00 = f (x, x0):
2xx00 = 1 +(x0)2
2
M´etodo de resoluci´on de los casos particulares
Reducci´on del orden mediante cambio de variables:
u = x0
Ecuaciones en las que no aparece la variable dependiente: u
como funci´on de t.
u= x0 ) x00 = u0, x00 = f (t, x0) ) u0 = f (t, u)
Se resuelve u0 = f (t, u) y se obtiene u = u(t). Luego se
deshace el cambio:
x0(t) = u(t) ) x(t) =
Z
u(t) dt.
2tx00 − x0 +
1
x0 = 0 (t 6= 0) )2tu0 − u +
1
u
= 0
3
M´etodo de resoluci´on de los casos particulares (cont.)
u = x0
Ecuaciones en las que no aparece la variable independiente: u
como funci´on de x:
u = x0 ) x00 =
d2x
dt=
du
dt
=
du
dx
dx
dt
= u0 · u
x00 = f (x, x0) ) uu0 = f (x, u)
Se resuelve u0 =
f (x, u)
u
y se obtiene u = u(x). Luego se
deshace el cambio resolviendo x0 = u(x) (variablesseparables).
2xx00 = 1 + (x0)2 ) 2xuu0 = 1 + u2
4
Ecuaciones Lineales
Ecuaci´on lineal de orden n:
x(n) + pn−1(t)x(n−1) + · · · + p1x0 + p0x = r (t)
Caso homog´eneo: r (t) = 0
Caso no homog´eneo: r (t)6= 0.
M´etodo de resoluci´on: Reducci´on a un sistema lineal de primer
orden y dimensi´on n mediante el cambio:
x1 = x, x2 = x0, x3 = x00, . . . , xn = x(n−1)
8>>>>>>><
>>>>>>>:
x0
1 = x2
x02 = x3
x0
3 = x4
...
x0
n−1 = xn
x0
n = −p0x1 − p1x2 − . . . − pn−1xn + r (t)
5
Ecuaciones lineales de orden peque˜no
n = 2: x00 + p(t)x0 + q(t)x = r (t), x1 = x, x2 = x0:

x0
1 = x2
x02 = −q(t)x1 − p(t)x2 + r (t)

x0
1
x0
2

=

0 1
−q(t) −p(t)

x1
x2

+

0
r (t)

n = 3: x000 + p2(t)x00 + p1(t)x0 + p0(t)x = r (t),
x1 = x, x2 = x0, x3 = x00:
8<
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