Aplicaciones de máximos y mínimos a problemas prácticos de la ingeniería

INTRODUCCION A LOS MAXIMOS Y MINIMOS
Valor Máximo Absoluto
Una función tiene un máximo absoluto en c si f(c) ≥ f(x) para toda x en D, donde
D es el dominio de f, el número f(x) se llama Valor Máximo de f en D.
Valor Mínimos Absoluto
Una función tiene un mínimos absoluto en c si f(c) ≤ f(x) para toda x en D, donde
De es el dominio de f, el numero f(x) se llama ValorMáximo de f en D.
Los Valores Máximos y Mínimos de f se conocen como Valores Extremos.
Valor Máximos Locales
Una función tiene un máximo locales en c si f(c) ≥ f(x) cuando x esta cercano a c.
Esto significa que f(c) ≥ f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c.


Valor máximo de una función
Valor Mínimos Locales
Una función tiene un mínimos locales en c si f(c) ≤ f(x)cuando x esta cercano a c.
Esto significa que f(c) ≤ f(x) para toda x en un intervalo abierto que contiene a c.


Valor mínimo de una función

OBJETIVOS
Objetivo General:
Introducir a los estudiantes universitarios al entendimiento de lo que son Los Máximos y Mínimos; así mismo como su aplicación a situaciones Practicas, o Hipotéticas.
Objetivos Específicos:
Que los estudiantes comprendanel concepto de Máximos y Mínimos
Que los estudiantes sepan hacer un análisis correcto de las variables involucradas.
Que los estudiantes identifiquen sino todos, por lo menos la mayor parte de los campos de acción de este tema
Justificación
Con cierta frecuencia nos encontramos con la necesidad de buscar la mejor forma de hacer algo. En muchas ocasiones a través de los poderosos mecanismos decálculo diferencial es posible encontrar respuesta a estos problemas, que de otro modo parecería imposible su solución.
Entre los valores q puede tener una función (Y) puede haber uno que sea el más grande y otro que sea el más pequeño. A estos valores se les llama respectivamente punto máximo y punto mínimo absolutos.
Si una función continua es ascendente en un intervalo y a partir de un puntocualquiera empieza a decrecer, a ese punto se le conoce como punto crítico máximo relativo, aunque comúnmente se le llama solo máximo.
Por el contrario, si una función continua es decreciente en cierto intervalo hasta un punto en el cual empieza a ascender, a este punto lo llamamos punto crítico mínimo relativo, o simplemente mínimo.
Una función puede tener uno, ninguno o varios puntos críticos.Extremos de una función
En matemáticas, los máximos y mínimos de una función, conocidos colectivamente como extremos de una función, son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos), que toma una función en un punto situado ya sea dentro de una región en particular de la curva (extremo local) o en el dominio de la función en su totalidad (extremo global o absoluto). De manera másgeneral, los máximos y mínimos de un conjunto (como se define en teoría de conjuntos) son los elementos mayor y menor en el conjunto, cuando existen. El localizar valores extremos es el objetivo básico de la optimización matemática.
Ejemplo 1
La suma del primero mas el doble del segundo es 100, y que el producto sea máximo.




Resolvemos para y en la primera ecuación.



Sustituimos yen la f(x,y) y nos quedara solo en función de x.



Derivamos f(x) e igualamos a 0.



Resolvemos para x.



sustituimos el valor de x encontrado, en la ecuación donde despejamos y.








Ejemplo 2
Encuentre 2 números cuyo producto sea 192 y su valor sea mínimo.




Resolvemos para x en la primera ecuación.



Sustituimos x en la f(x,y) y nos quedara solo enfunción de y.



Derivamos f(y) e igualamos a 0.



Resolvemos para y.



sustituimos el valor de y encontrado, en la ecuación donde despejamos x.






Ejemplo 3
Dos postes de 12ft y 28ft de altura distan 30ft entre sí. Los postes se conectan mediante un cable que está atado en un punto en el suelo entre ellos. Dónde debe encontrarse el punto para que se utilice la...