Aplicaciones derivadas

Aplicaciones geométricas.
Recta tangente a una curva en un punto
La recta tangente a a una curva en un punto es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a f '(a).

Ejemplo: Hallar la ecuación de la recta tangente a la parábola y = x2 - 5x + 6 paralela a la recta
y =-3x -2 La pendiente de esta recta es m= -3
f'(a) = 2a – 5 2a − 5 = −3 a = 1
El punto detangencia es P(1, 2)
La recta tangente es y − 2= -3 (x − 1) y = -3x + 5
Recta normal a una curva en un punto
La recta normal a a una curva en un punto a es aquella que pasa por el punto (a, f(a)) y cuya pendiente es igual a la inversa de la opuesta de f '(a).

Ejemplo:Hallar la ecuación de la recta tangente y normal a la parábola y = x2 + x + 1 y paralela a la bisectriz del primer cuadrante(recta y = x ).
La pendiente de la recta dada es m = 1
f'(a) = 2a + 1 = 1 a = 0
Punto de tangencia:(0, 1)
Recta tangente: y − 1 = x y = x +1
Recta normal: y − 1 = −x y = −x + 1

Crecimiento y decrecimiento
Crecimiento
Si f es derivable en a:

Decrecimiento
Si f es derivable en a:

Extremos:

Tenemos un máximo en x=a si
-La función existe en ese punto.
-En x=a lafunción pasa de ser creciente a decreciente.

Tenemos un mínimo en x=a si
-La función existe en ese punto.
-En x=a la función pasa de ser decreciente a creciente.
Ejemplo1 : Cálculo de los intervalos de crecimiento y decrecimiento de f(x) = x3 − 3x + 2
Para hallar su crecimiento y decrecimiento vamos a realizar los siguientes pasos:
1. Derivar la función.
f '(x) = 3x2 −3
2. Obtener lasraíces de la derivada primera, para ello hacemos: f'(x) = 0.
3x2 −3 = 0 x = -1 x = 1
3. Formamos intervalos abiertos con los ceros (raíces) de la derivada primera y los puntos de discontinuidad (si los hubiese)

4. Tomamos un valor de cada intervalo, y hallamos el signo que tiene en la derivada primera.
Si f'(x) > 0 es creciente.
Si f'(x) < 0 es decreciente.
Del intervalo (−∞, −1) tomamos x =-2, por ejemplo.
f ' (-2) = 3(-2)2 −3 > 0
Del intervalo (−1, 1) tomamos x = 0, por ejemplo.
f ' (0) = 3(0)2 −3 < 0
Del intervalo ( 1, ∞) tomamos x = 2, por ejemplo.
f ' (2) = 3(2)2 −3 > 0

5. Escribimos los intervalos de crecimiento y decrecimiento:
De crecimiento: (−∞, −1) (1, ∞)
De decrecimiento: (−1,1)
¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?
Ejemplo2 : Cálculo delos intervalos de crecimiento y decrecimiento de











¿Dónde se encuentran los máximos y mínimos de esta función?
Optimización de funciones
Pasos para la resolución de problemas de optimización
1. Se plantea la función que hay que maximizar o minimizar.
2. Se plantea una ecuación que relacione las distintas variables del problema, en el caso de que haya más de una variable.3.Se despeja una variable de la ecuación y se sustituye en la función de modo que nos quede una sola variable.
4. Se deriva la función y se iguala a cero, para hallar los extremos locales.
5. Se realiza la 2ª derivada para comprobar el resultado obtenido.
Ejemplo
De todos los triángulos isósceles de 12 m de perímetro, hallar los lados del que tome área máxima.

La función que tenemos quemaximizar es el área del triángulo:

Relacionamos las variables:
2 x + 2 y = 12
x = 6 − y
Sustituimos en la función:

Derivamos, igualamos a cero y calculamos las raíces.


Realizamos la 2ª derivada y sustituimos por 2, ya que la solución y = 0 la descartamos porque no hay un triángulo cuyo lado sea cero.



Por lo que queda probado que en y = 2 hay un máximo.
La base (2y) mide 4my los lados oblicuos (x) también miden 4 m, por lo que el triangulo de área máxima sería un triangulo equilatero.

ACTIVIDADES APLICACIONES DE LA DERIVADA.

Recta tangente y normal.
1.-Calcular los puntos en que la tangente a la curva y = x3 − 3x2 − 9x + 5 es paralela al eje OX.
2.-Se ha trazado una recta tangente a la curva y= x3, cuya pendiente es 3 y pasa por el punto (0,−2)....