Aplicaciones Lineale

sAplicacions lineals Endomorfismes

´ Index

1

Aplicacions lineals Definici´. Matriu associada o Nucli i Imatge Antiimatge d’un vector Endomorfismes Aplicaci´ inversa o C`lcul de la matriu inversa a Valors i vectors propis

2

EPSEVG. Dept. MA IV, M. Claverol, S. Boza

FOMA: Aplicacions lineals

1/21

Aplicacions lineals Endomorfismes

Definici´. Matriu associada o Nucli i ImatgeAntiimatge d’un vector

Aplicacions lineals
f : Rn → Rm ´s aplicaci´ lineal ⇐⇒ e o f (αu + βv) = αf (u) + βf (v), u, v ∈ Rn , α, β ∈ R la imatge d’una combinaci´ lineal ´s la combinaci´ lineal de les imatges o e o Exemples: 1 Aplicaci´ identitat. o
2

3

4

5

6

f : Rn −→ Rn n n (x1 , . . ., xn ) −→ (x1 , . . ., xn ) n m Aplicaci´ nul·la. o f : R −→ R n m (x1 , . . ., xn ) −→ (0, . .. , 0) Girs. Per exemple, f : R2 −→ R2 (gir de π/2) (x, y) −→ (−y, x) Simetries. Per exemple, f : R3 −→ R3 (simetria respecte del pla y = 0) (x, y, z) −→ (x, −y, z) Homot`cies. Per exemple, f : R2 −→ R2 e (x, y) −→ (λx, λy) Projeccions. Per exemple, f : R3 −→ R3 (x, y, z) −→ (x, 0, z)
EPSEVG. Dept. MA IV, M. Claverol, S. Boza FOMA: Aplicacions lineals 2/21

Aplicacions lineals EndomorfismesDefinici´. Matriu associada o Nucli i Imatge Antiimatge d’un vector

Matriu associada a una aplicaci´ lineal o
Base can`nica de Rn : o {e1 = (1, 0, · · · , 0), e2 = (0, 1, · · · , 0), · · · , en = (0, · · · , 0, 1)} Aplicaci´ lineal f ←→ A matriu associada o f : Rn −→ Rm A = f (e1 ) f (e2 ) · · · f (en ) matriu associada a f t´ per columnes les imatges de la base can`nica de Rn e o Ordre d’A: m× n     x1 x1  .   .  f  . =A .  . . xn xn Exemple: Considereu l’aplicaci´ lineal o que t´ per matriu A = e 1 0 ↑ −1 2 1 1 ↑ ↑

f : R3 −→ R2 (x, y, z) −→ (x − y + 2z, y + z)

f (1, 0, 0) f (0, 1, 0) f (0, 0, 1)
EPSEVG. Dept. MA IV, M. Claverol, S. Boza FOMA: Aplicacions lineals 3/21

Aplicacions lineals Endomorfismes

Definici´. Matriu associada o Nucli i Imatge Antiimatged’un vector

Nucli-Imatge
n m f : Rn → Rm aplicaci´ lineal =⇒ f (0, . . ., 0) = (0, . . . , 0) o ↑ f (0) = f (u − u)
lineal

=

f (u) − f (u) = 0

Poden haver-hi d’altres v tals que f (v) = 0. El conjunt de tots els vectors que van a parar al 0 formen el Nucf . El Nucli d’f o Nucf = {u ∈ Rn / f (u) = 0 ∈ Rm } = solucions del sistema homogeni: {X ∈ Rn / AX = 0}. dim Nucf =n−rang A La Imatged’f o Imf = {f (u) ∈ Rm / u ∈ Rn }= < f (e1 ), · · · , f (en ) > espai generat per les columnes d’A. dim Imf =rang A≤ n dim Imf +dim Nucf =n
EPSEVG. Dept. MA IV, M. Claverol, S. Boza FOMA: Aplicacions lineals 4/21

Aplicacions lineals Endomorfismes

Definici´. Matriu associada o Nucli i Imatge Antiimatge d’un vector

Nucli-Imatge
Teorema del rang Sigui f : Rn → Rm aplicaci´ lineal, aleshores: odim Imf +dim Nucf =dim Rn = n

f ´s injectiva ⇐⇒ Nucf = 0 ⇐⇒ n−rang A=0 e f ´s exhaustiva ⇐⇒ Imf = Rm ⇐⇒ rang A=m e Observa: f : Rn Si n < m =⇒ f Si n > m =⇒ f Si n = m =⇒ f → Rm aplicaci´ lineal: o No exhaustiva No injectiva No bijectiva ⇐⇒ exhaustiva+ injectiva

EPSEVG. Dept. MA IV, M. Claverol, S. Boza

FOMA: Aplicacions lineals

5/21

Aplicacions lineals Endomorfismes

Definici´.Matriu associada o Nucli i Imatge Antiimatge d’un vector

Exemple
Busca la matriu associada a f : R3 −→ R2 (x, y, z) −→ (x + y + 4z, 2x − y) Calculem: f (ei ): (1, 0, 0) −→ (1, 2) (0, 1, 0) −→ (1, −1) (0, 0, 1) −→ (4, 0) 1 1 4 A= 2 −1 0 ´ Busca la imatge, Imf , una base d’Imf . Es f exhaustiva? A= 1 1 4 2 −1 0
F 2 ↔ F 2 − 2F 1

1 0

1 -3

4 −8

Imf =< f (e1 ), f (e2 ) >=< (1, 2), (1,−1) > Una base d’Imf ´s: {(1, 2), (1, −1)} e rang A=2=dim R2 =⇒ f ´s exhaustiva e
EPSEVG. Dept. MA IV, M. Claverol, S. Boza FOMA: Aplicacions lineals 6/21

Aplicacions lineals Endomorfismes

Definici´. Matriu associada o Nucli i Imatge Antiimatge d’un vector

Exemple
´ Busca el nucli, Nucf i una base de Nucf . Es f injectiva? Resolem el sistema homogeni: AX = 0 1 1 4 0 1 F 2 ↔ F 2 − 2F...