Aplicación de las derivadas

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APLICACIONES DE LA DERIVADA
Crecimiento y decrecimiento.
Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:
Una función f(x) es creciente en un punto a, si su derivada es positiva
Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa.
Es decir,
Si f ′(a) > 0 ⇒ f es creciente en x = a
Si f ′(a) < 0 ⇒ f esdecreciente en x = a

f(a+h)
t

creciente
f ′( a ) = lím

h→0

f(a)

a

f ( a + h) − f ( a )
>0
h

a+h

Como f (a + h) − f (a) > 0 ⇒ f (a + h) > f (a) ,es decir, la función es creciente en
x=a

f(a)

decreciente

f ′(a) = lím

f(a+h)

h →0

a

f ( a + h) − f ( a )
0 , hay un mínimo relativo en el punto c
Si f ′′(c) < 0 , hay un máximo en dicho punto.Demostración:
Lo hacemos para el caso de mínimo:

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Si f ′′(c) > 0 la función y = f ′( x) es creciente en c luego f ′(c − h) < f ′(c) < f ′(c + h)
Y como f ′(c) = 0 , f ′(c − h) < 0 < f ′(c + h) , es decir, la derivada es negativa a la
izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.
Para la determinación de máximos ymínimos podemos utilizar los siguientes criterios:
Criterio de la primera derivada:
•
•
•

Se determinan los intervalos de crecimiento y decrecimiento.
Existe máximo relativo en los puntos en que la función pasa de creciente a decreciente.
Existe mínimo relativo en los puntos en que pasa de decreciente a creciente.

Criterio de la segunda derivada:
• Calculamos la primera derivada, laigualamos a cero y resolvemos la ecuación
resultante.
• Hallamos la segunda derivada.
• Las raíces de la ecuación obtenida se sustituyen en la segunda derivada.
• Si el resultado obtenido es positivo existe mínimo y si es negativo máximo.
Ejemplo 2.
Halla los máximos y mínimos de la función f ( x) = 3x − x 3
Hallamos la primera derivada y resolvemos la ecuación f ′( x) = 0 :
f ′( x) = 3 −3x 2 = 0 ⇒ x 2 = 1 ⇒ x = ±1
2ª derivada: f ′′( x) = −6 x
Valores de la segunda derivada en los puntos obtenidos:
f ′′(−1) = −6(−1) = 6 > 0 ⇒ ∃ mínimo para x = - 1
f ′′(1) = −6.1 = −6 < 0 ⇒ ∃ máximo para x = 1

Máximo(1, 2)

Mínimo(-1,-2)

Concavidad y convexidad.

Los conceptos con convexidad y concavidad son relativos.
Adoptaremos el siguiente criterio:

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La función esconvexa en un intervalo si la gráfica de la función queda encima de la
recta tangente en un punto cualquiera del intervalo.
La función es cóncava cuando la gráfica queda por debajo.

cóncava
convexa

Puntos de inflexión son aquellos en los que la función cambia de convexa a cóncava o
de cóncava a convexa.
Una función derivable es convexa en un intervalo (a, b), si f ′′( x) > 0, ∀x ∈ (a, b)Una función derivable es cóncava en un intervalo (a, b), si f ′′( x) < 0, ∀x ∈ (a, b)
Estudiar la curvatura de una función consiste en hallar los intervalos en los que es cóncava y convexa.
Se procede de la siguiente forma:
• Se halla la segunda derivada, se iguala a cero y se resuelve la ecuación resultante.
• Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.• Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalos resultantes.

Ejemplo 2.
Halla los intervalos de concavidad y convexidad y los puntos de inflexión de la función
f ( x) = x 4 − 6 x 2 + 4
Primera derivada: f ′( x) = 4 x 3 − 12 x
Segunda derivada: f ′′( x) = 12 x 2 − 12
12 x 2 − 12 = 0 ⇒ x 2 − 1 = 0 ⇒ x = ±1
Dividiendo el dominio R por los puntos –1y 1 se obtienen los siguientes intervalos:
(−∞,−1), (−1,1) y (1,+∞)
Estudiamos el signo de la segunda derivada en un punto cualquiera de cada intervalo:
Para x = -2 f ′′(−2) = 12.(−2) 2 − 12 = 36 > 0 , función convexa.
Para x = 0, f ′′(0) = −12 < 0 , función cóncava
Para x = 2, f ′′(2) = 36 > 0 , función convexa
La curvatura queda reflejada en la siguiente tabla:

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Intervalos...