Aplicación Lineal

Aplicación Lineal
Se denomina aplicación lineal, función lineal o transformación lineal a toda aplicación cuyo dominio y condominio sean espacios vectoriales que cumpla la siguiente definición:Sean  y  espacios vectoriales sobre el mismo espacio o campo , y  una función de  en .  es una transformación lineal si para todo par de vectores  y  pertenecientes a y para todo escalar  pertenecientea , se satisface que:
1.
2.  donde k es un escalar.
 Núcleo (matemática)
Sean  y  espacios vectoriales sobre  (donde  representa el cuerpo) se satisface que:
Si  es lineal, se defineel núcleo (ker) y la imagen (Im) de  de la siguiente manera:


Es decir que el núcleo de una transformación lineal está formado por el conjunto de todos los vectores del dominio que tienen por imagen al vectornulo del codominio.
El núcleo de toda transformación lineal es un subespacio vectorial del dominio:
1.  dado que  (para probar esto, observar que ).
2. Dados 
3. Dados 
Se denomina nulidad ala dimensión del núcleo. 
La imagen de una transformación lineal está formada por el conjunto de todos los vectores del codominio que son imágenes de al menos algún vector del dominio.
La imagen de todatransformación lineal es un subespacio del codominio.
El rango de una transformación lineal es la dimensión de la imagen.


Imagen de una transformación lineal
Sea T: V ® W una transformaciónlineal. 
Se llama imagen de T ( Im (T)) al conjunto de vectores y e W tales que existe x e V con T (x) = y.


Analicemos la transformación: T1: R2 R2 /  v e R2: T((x, y)) = (-y, x), encontrandoT1(v) para mil vectores v diferentes:



La imagen de la transformación T1 es, como puede verse en el gráfico, el espacio R2. Esta transformación es una rotación de 90° en sentido antihorario.

Siqueremos hallar Im (T1) a “mano”:

             Im (T1) = {y e R2 / " x e R2 : T1 (x) = y }

            Si y = (y1, y2) = T1((x1, x2)) = (-x2, x1) entonces: y1 = - x2; y2 = x1
Así, Im (T1)...