Aplicación álgebra lineal

Universidad Nacional Autónoma de México
-Facultad de Ingeniería-

Aplicación del Álgebra Lineal

Aguilar Márquez José Luis

Grupo 11

Profesora: Hernández Miranda Berenice

Fecha de entrega: 26 de agosto de 2011

Aplicación en la sociología y psicología
Gráficas de dominancia
Los sociólogos y los psicólogos emplean gráficas para determinar los diferentes tipos de relaciones, comola influencia, la dominancia y la comunicación en grupos. Supongamos que en un grupo, por cada par de miembros Vi y Vj, Vi influye en (o domina a) Vj, o Vj influye en Vi, o bien no hay influencia directa entre Vi y Vj. Esta situación se puede describir con una diagráfica D que tiene cuando mucho una rama dirigida que une a dos nodos cualesquiera. A esta gráfica se le llama diagráfica de dominancia.La figura siguiente muestra las relaciones de dominancia entre 7 individuos, V1, . . . , V7.

La matriz de adyacencia de una diagráfica de dominancia muestra la información acerca de las relaciones de influencia en un grupo. Los renglones con más unos representan a los miembros del grupo con mayor influencia. Las caminatas de longitud 1 simbolizan una influencia directa, mientras que las delongitud mayor que 1 representan una influencia indirecta. Entonces, la n-ésima potencia de la matriz de adyacencia expresa la influencia indirecta de un miembro sobre otro en n etapa, o en la n-ésima etapa. Examinando A (D) de la diagráfica en la figura se ve que V1 es el miembro con mayor influencia directa, porque el primer renglón es el que tiene más cantidad de unos. Sin embargo, al observardetenidamente A (D)2 nos percataremos que V5 tiene más influencia en 2 etapas que V1 . Esto también es evidente en la gráfica, porque V5 influye en V2, V3 y V7 en dos etapas, mientras que V1 sólo tiene influencia en V4 y V6.

Matrices estocásticas y doblemente estocásticas; procesos de Márkov
Una matriz estocástica es una matriz cuadrada con elementos reales no negativos, en las cuales cadacolumna suma 1. Y se dice que es doblemente estocástica cuando también cada uno de sus renglones suma 1.
Las matrices estocásticas corresponden a un tipo especial y se usan con frecuencia en el estudio de fenómenos aleatorios, en teoría de la probabilidad y estadística.
Obsérvese que una matriz estocástica tiene como elementos a números entre 0 y 1. Asimismo, la traspuesta de una matriz doblementeestocástica también es doblemente estocástica.
Ahora se presenta la noción de la probabilidad de la ocurrencia de un evento, y veremos cómo se relaciona con las matrices estocásticas.
Si existe la certeza de que acontecerá un evento, se dice que su probabilidad de ocurrencia es 1; si no hay certeza alguna, su probabilidad es de 0. Otros valores de probabilidades son números entre 0 y 1. Porejemplo, se dice que la probabilidad de lluvia es 70%=0.7 en determinado día. Mientras más alta es la probabilidad de que ocurra un evento, hay mayor certeza de que ocurra. Si este evento tiene n resultados igualmente probables de ocurrir, de los cuales nos interés m, la probabilidad de que ocurra uno de los interesantes es m/n.
Por ejemplo, si tiramos un dado, los resultados posibles son 6 (se puedetener un 1 o un 2, o un 3, o un 4, o un 5 o un 6, cada uno con la misma probabilidad). La probabilidad de obtener 2 (uno de los resultados) es 1 de 6, o 16 . La probabilidad de que salga un número par es 3, porque el dado tiene un 2, un 4 y un 6, es decir, 36=12
Como los elementos de una matriz estocástica son números entre 0 y 1, éstos pueden considerarse como probabilidades de resultado deeventos.
Veamos el estudio siguiente acerca de los hábitos de fumar en un grupo de personas. Supongamos que la probabilidad de que un fumador continúe fumando un año después es de 65% (por lo que hay un 35% de probabilidades de que deje de hacerlo), mientras que la probabilidad de que un no fumador continúe sin este hábito es de 85% (por lo que hay 16% de probabilidades de que se convierta en...