Aproximacion de fourier y transformada de laplace

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Aproximacion de Fourier y Transformada de Laplace
March 17, 2011

La aproximación de Fourier representa un esquema sistemático para utilizar series trigonométricas en el modelado de problemas que pueden tratar con sistemas que oscilan o vibran. Una de las características distintivas del análisis de Fourier es que trata con los dominios de tiempo y de frecuencia. Si consideramos que laaproximación de Fourier, describe un vector,

−→ − f (t) =

∞ n=0

an (t − t0 );
Donde:

an :

Coordenadas vectoriales

(t − t0 )n :Elementos

Aplican para esta, los siguientes conceptos:

Producto interno:
Si u,v son dos vectores en el espacio, entonces el producto interno de los vectores, tiene las siguientes propiedades: 1.

< u, v >=< v, u > .
(a)

< ku, v >= k < u, v > . u = 0,< u, u >= 0,
si

(b) si (c)

u > 0, < u, u >> 0.

< u + v, w >=< u, w > + < v, w > .

1

Supongamos que

f1 y f2

son funciones denidas en un intervalo

Puesto que una integral denida sobre

[a, b]. [a, b] del producto f1 (x), f2 (x) >tiene f1 y f2 en un intervalo

las misma propideades anteriormente mencionadas, siempre y cuando exista la integral, el producto interno dedos funciones

[a, b]es

el numero:

< f1 , f2 >=

´b
a

f1 (x)f2 (x)dx.

Base Canonica:
Un conjunto nito de vectores torial 1.

(v1 , v2 , ..., vn ),

es una base para un espacio vec-

V,

si: es linealmente independiente. genera a dene:

(v1 , v2 , ..., vn )
(a)

(v1 , v2 , ..., vn ) IRn se

V.

Entonces en

1 0 e1 =
. , . .

0 1 e2 = 0

. ,· · · , . .0 0 en =
. . . .

0

1

Puesto que los vectore ei , son las columnas de una matriz identidad, (e1 , e2 , · · · , en ) es un conjunto linealmente independiente y por tanto conn situye una base R , a esta base especial, se le llama base canonica.

→ − − − → V = a0 → + a1 → + ... + an − ; e0 e1 en
Podemos observar que:

− − − → < V, → >=< a0 → + a1 → + ...an − >; ek e0 e1 en
Por laspropiedades del producto interno...

− − − − − → e < V, → >=< a0 →, → > + < a1 →, → > +...+ < an − , → >; ek e0 ek e1 ek en − k
Factorizando...

− − − − − → e < V, → >= a0 < →, → > +a1 < →, → > +... + an < − , → >; ek e0 ek e1 ek en − k
Generalizando...

→ − − − − < V , → >= ak < →, → >; ek ek ek
Por tanto...

ak =

→ − < V ,ek > →→ . ek ek

2

Funciones Ortogonales:
Se dice quedos vectores geometricos son ortogonales siempre que su producto interno sea 0, entonces las funciones ortogonales se denen de manera similar: Dos funciones

f1 y f2

son ortogonales en un intervalo

[a, b]si:

< f1 , f2 >=

´b
a

f1 (x)f2 (x)dx = 0.

Funcion Periodica:
Una funcion periodica

f (t)

es aquella para la cual:

f (t) = f (t + T0 );
donde

T0 es

unaconstante llamada

periodo,

que es el valor menor para el

cual es valida la ecuacion anterior. Entre los ejemplos comunes se encuentran diversas formas de onda tales como, ondas cuadradas y dientes de sierra. Las ondas fundamentales son las funciones sinusoidales (cualquier forma de onda que se pueda describir con un seno o un coseno).

Graca de

f (t) = sen(t),

periodica.

Serie deFourier Continua :
Una serie de Fourier es una expancion de una funcion periodica

f (x)

en tér-

minos de una sumatoria innita de las funciones seno y coseno. El estudio del cálculo de las series de Fourier se conoce como análisis armónico y es extremadamente útil como una manera de descomponer una función arbitraria periódica en un conjunto de términos simples, que pueden ser resueltosindividualmente y recombinados para obtener el resultado o una buena aproximación para el problema original. El estudio del cálculo de las series de Fourier se basa en las siguientes identidades integrales... 1.

´π

−π

sen(mx)sen(mx)dx = πδmn ;
3

2. 3. 4. 5.

´π ´π
−π −π −π −π

cos(mx)cos(mx)dx = πδmn ; sen(mx)cos(nx)dx = 0; sen(mx)dx = 0; cos(mx)dx = 0.

´π ´π

Donde

n = m...
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