Apunte CVV

UNIVERSIDAD DE CHILE
´
FACULTAD DE CIENCIAS F´ISICAS Y MATEMATICAS
´
DEPARTAMENTO DE INGENIER´IA MATEMATICA

´
CALCULO
EN VARIAS VARIABLES
Apunte de curso

MANUEL DEL PINO
Centro de Modelamiento Matem´atico
Departamento de Ingenier´ıa Matem´atica
delpino@dim.uchile.cl

Se concede permiso para imprimir o almacenar una u
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Universidad de Chile.
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Cualquier reproducci´on parcial de este documento debe hacer referencia
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Este documento fue financiado a trav´es de los recursos asignados por el
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Esta versi´on fue revisada y corregida por Juan Peypouquet. Los
cap´ıtulos 8 y 9 fueron adaptados del apunte “C´alculo Vectorial, Variable Compleja y Ecuaciones en Derivadas Parciales”, Tercera Edici´on,
por Felipe Alvarez, Juan Diego D´avila, Roberto Cominetti y H´ector
Ram´ırez.

´Indice general
Introducci´on

7

Cap´ıtulo 1. Conceptos preliminares
1. RN comoespacio vectorial normado
2. Sucesiones y convergencia
3. Interior, adherencia, conjuntos abiertos y cerrados
4. Subsucesiones y el Teorema de Bolzano-Weierstrass
5. Sucesiones de Cauchy y completitud

9
9
10
13
16
18

Cap´ıtulo 2. Funciones de varias variables: l´ımites y continuidad
1. Introducci´on a las funciones de varias variables
2. L´ımites y continuidad
3. Algunas caracterizaciones de lacontinuidad
4. Operaciones con funciones continuas
5. Funciones Lipschitz
6. M´aximo y m´ınimo de una funci´on continua

19
19
20
24
25
27
29

Cap´ıtulo 3. Diferenciabilidad de funciones de varias variables
1. Definici´on de diferenciabilidad y derivada
2. Operaciones con funciones diferenciables
3. Derivadas direccionales, parciales y diferenciabilidad
4. Continuidad de derivadas parciales ydiferenciabilidad
5. Gradiente de una funci´on
6. Plano tangente
7. Teorema del Valor Medio
8. Regla de la cadena

33
34
38
40
45
48
49
51
51

Cap´ıtulo 4. Teoremas de la Funci´on Inversa e Impl´ıcita
1. El Teorema del Punto Fijo de Banach
2. Los Teoremas de la Funci´on Inversa e Impl´ıcita

57
57
61

Cap´ıtulo 5. Derivadas de orden superior
1. Derivadas parciales sucesivas
2. Segundo orden: la matrizHessiana
3. Aproximaciones de Taylor

69
69
72
73

5

6

´INDICE GENERAL

Cap´ıtulo 6. Optimizaci´on
1. Puntos cr´ıticos de funciones diferenciables
2. Multiplicadores de Lagrange

77
77
85

Cap´ıtulo 7. Integraci´on de funciones de varias variables
91
1. Definici´on de la integral y propiedades b´asicas
92
2. D´onde integrar: Conjuntos Jordan-medibles
100
3. C´alculo de integrales: El Teorema deFubini
104
4. C´alculo de integrales: El Teorema del Cambio de Variables 109
Cap´ıtulo 8. Coordenadas curvil´ıneas
1. Triedro de vectores y factores escalares
2. Coordenadas cil´ındricas
3. Coordenadas esf´ericas
4. Coordenadas toroidales
5. Gradiente en coordenadas ortogonales

119
119
120
121
123
124

Cap´ıtulo 9. La noci´on de superficie
1. Vectores tangente y normal a una superficie
´
2. Areae integral de superficie

127
129
131

Introducci´
on
Consideramos en este curso funciones definidas sobre el espacio RN ,
el conjunto de las N-tuplas ordenadas de n´
umeros reales,
x = (x1 , . . . , xN ) ,

xi ∈ R ∀ i = 1, . . . , N .

Equivalentemente, puede caracterizarse RN como el conjunto de las
funciones
x : {1, . . . , N} → R , i → xi .
Dotado de las operaciones b´asicas de suma y...