Apunte De Vectores

1° Semestre 2008
Material Docente Nº 5
Asignatura: Geometría

I.

Vectores
Los científicos utilizan el término vector para indicar una cantidad (por ejemplo, velocidad o fuerza)
que tiene magnitud y dirección. Un vector suele representarse por una flecha o segmento de recta.
La longitud de la flecha representa la magnitud del vector y la flecha apunta la dirección del vector.Consideremos los segmentos de recta dirigidos como representaciones equivalentes de una sola
entidad llamada vector. En otras palabras, podemos considerar un vector v como un conjunto de
segmentos de rectas equivalentes. En esta forma, un vector bidimensional puede ser considerado
para el par ordenado
como un par ordenado de números reales. Utilizaremos la notación a1 , a 2
que se refiere a un vector yno debemos confundirlo con el par ordenado ( a1 , a 2 ) que se refiere a
un punto en el plano.

En lo que sigue se hace referencia a un vector si se pone una flecha sobre una letra a .

Definición:

Un vector bidimensional es un par ordenado de la forma a = a1 , a 2

de números reales.

Un vector tridimensional es una terna ordenada de la forma a = a1 , a 2 , a3

de númerosreales. Los números a1 , a 2 y a 3 se llaman componentes del vector a .

Denotaremos por V2 al conjunto de todos los vectores bidimensionales, y por V3 al
conjunto de todos los vectores tridimensionales.

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Definición:

Facultad Tecnológica

Dados los puntos en el plano
representación AB

B = ( x 2 , y 2 ) , el vector v

con

es v = x2 − x1 , y 2 − y1Dados los puntos en el espacio
representación AB

A = ( x1 , y1 ) , y

A = ( x1 , y1 , z1 ) , y B = ( x2 , y 2 , z 2 ) , el vector v con

es v = x 2 − x1 , y 2 − y1 , z 2 − z1

Longitud o Norma de un Vector
La longitud o norma de un vector

es la longitud de cualquiera de sus

a

representaciones y se denota con el símbolo

a

o bien

a

. Con el uso de la fórmula

dela distancia, para calcular la longitud de un segmento OA , que corresponde al
segmento que va desde el origen de coordenadas O , al punto
fórmulas en la siguiente definición.
Definición:

La longitud o norma del vector bidimensional a = a1 , a 2
La norma del vector tridimensional a = a1 , a 2 , a3

es a

A , obtenemos las

2
2
es a = a1 + a 2

2
2
= a12 + a 2 + a3

Observación:El único vector con longitud 0 es el vector cero O = 0, 0 o O = 0, 0, 0 . Este es el único
vector sin dirección específica.

Profesores: H. Carreño G. – D. Jara S.

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II.

Suma de Vectores

Definición:

Si a = a1 , a 2 , a3

y b = b1 , b2 , b3 , entonces la suma de a y bque se anota a + b , es el

vector definido por: a + b = a1 + b1 , a 2 + b2 , a3 + b3
Del mismo modo, para vectores bidimensionales a + b = a1 + b1 , a 2 + b2

. La suma para

vectores en V 2 se ilustra geométricamente en la siguiente figura. Se puede ver que la
definición de suma vectorial se llama regla del paralelogramo

Ejemplo 1.

Si a = 1, − 3, 2

y b=

Profesores: H. CarreñoG. – D. Jara S.

− 4, − 1, 0 , entonces a + b = 1 − 4, − 3 − 1, 2 + 0 = − 3, − 4, 2

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III.

Multiplicación de un vector por un escalar

Definición:

Si k es un escalar (número real no nulo) y
vector

k ·a

es un vector, entonces el

k ·a = k ·a1 , k ·a 2 , k ·a3

queesta definido por

vectores bidimensionales: k · a =

a = a1 , a 2 , a3

. De igual forma, para

k ·a1 , k ·a 2 . Esta definición se ilustra a continuación.

En general, para multiplicar un vector por un escalar multiplicamos cada componente
por ese escalar.
Veamos como el múltiplo escalar escalar k · a
en dos dimensiones. Si

a = a1 , a 2

se compara con el vector original...