Apuntes Vectores

APUNTES VECTORES

INCISO MATEMÁTICO:
Recordatorio de las razones trigonométricas básicas:

 Relaciones entre ángulos y longitudes:
 Relaciones en el paralelogramo:
b
   2 cos 2 2 v a b ab
a
VECTORES.
Existen dos tipos de magnitudes físicas:
- Magnitudes escalares: para indicar su valor basta con dar un número y la unidad correspondiente.
Ejemplos de estas magnitudes: masa,tiempo, volumen, temperatura, densidad,…
- Magnitudes vectoriales: para indicar su valor no basta con indicar un número y una unidad (módulo),
habrá que dar información sobre en qué dirección va, y en qué sentido. Ejemplos de magnitudes
vectoriales: velocidad, fuerza, aceleración,…
Sobre estas magnitudes vectoriales centraremos nuestro estudio en el tema.
- Aclaración: Si en magnitudes escalaresyo puedo sumar directamente 2 + 3 = 5, en magnitudes
vectoriales debo indicar en qué dirección y sentido van esas cantidades. Debo indicar dirección y sentido
de ese 2, y dirección y sentido de ese 3.
Si sumo: 2 en sentido positivo del eje x, más 3 en sentido positivo del eje y, la cantidad que da no es
cinco, sino que habría que aplicar el teorema de Pitágoras para calcular dicho valor.
v yv
x v
PITÁGORAS: 2 2 2
x y v  v  v

β
α + β = 90 ° β = 90° - α
v
vx cos   v  v cos x
v
vy cos  v  v  cos y
v
2
VECTOR : un vector es la representación matemática
de una magnitud vectorial. Consiste en un segmento orientado
que contiene toda la información sobre la magnitud
que estamos midiendo. Se representa por a
Partes del vector:
- Definiciones:
Vectoropuesto a otro: es aquel que tiene el mismo módulo y dirección, y su sentido es contrario.
Vector unitario: es un vector de igual dirección y sentido que otro pero cuyo módulo es 1.
Si dado un vector cualquiera v, quiero calcular su vector unitario, dicho vector será el
que exprese la misma dirección y sentido que v pero cuyo valor o módulo es la unidad y
se calcularía:
v
v
u 
- Dado el Sistemade coordenadas cartesianas, se definen como vectores unitarios de dirección
perfectamente conocida:
 i cuyo valor ó módulo es uno e indica la dirección y sentido positivo del eje x.
 j  cuyo valor ó módulo es uno e indica la dirección y sentido positivo del eje y.
OPERACIONES ELEMENTALES CON VECTORES.
Suma: La suma de dos o más vectores es otro vector : s = a + b
 Suma de vectores deigual dirección y sentido:
 Suma de vectores de igual dirección y sentido contrario:
 Suma de vectores que forman un ángulo de 90º:
 Suma de vectores que forman un ángulo distinto de 90º:
- Módulo: a ó a : Longitud del segmento, proporcional a la magnitud que
representa.
- Dirección: la de la recta que contiene el vector ó recta soporte.
- Sentido: viene dado por la punta de flecha.Dentro de la dirección, será + ó -,
dependiendo del criterio que hayamos escogido en un principio.
3
DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL
Descomponer un vector en sus dos componentes es lo contrario de sumar dos vectores para dar lugar a
un vector llamado “resultante” de la suma.
Dado un vector a :
1º Lo coloco en los ejes de coordenadas y trazo perpendiculares desde la punta de flecha a ambos ejes:
2º Lospuntos de corte con los ejes, son los extremos de las componentes del vector, y su origen está en
el origen del sistema de coordenadas.
3º Cálculo de las componentes:
a  acos x
a  acos y
- Un vector se puede expresar de dos formas:
 Como par ordenado : a = (ax,ay)
 Forma binomial: a = ax.i + ay. j
COMPONENTES DE UN VECTOR
Las cuestiones que nos planteamos a continuación son:
-Conociendo las componentes de un vector: ¿Podemos conocer su módulo y orientación?
- Conociendo el módulo de un vector y el ángulo que forma con alguno de los ejes de coordenadas ¿podemos
conocer sus componentes?
Partiendo de las componentes, el módulo del vector se calcula como: 2 2
x y a  a  a  a
el ángulo del vector con el eje:
a
ax cos 
Descomposición : A partir del módulo y el...