Apunte Frobenius

Facultad de Ingeniería y Ciencias Aplicadas, Universidad de los Andes.

Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Puntos Singulares Regulares y el Método de Frobenius.
Sean p(x) y q(x) funciones continuasen un intervalo I. Un punto x0 se denomina un punto singular para una
E.D.O. de la forma
y + p(x)y + q(x)y = 0
(1)
si y solo si p y/o q no son analíticas en x0 .
El punto x0 se denomina puntosingular regular para la E.D.O. (1) si y solo si al reescribir la E.D.O. (1) en la
forma
(x − x0 )2 y + (x − x0 ) [(x − x0 )p(x)] y + (x − x0 )2 q(x) y = 0
(2)
La funciones dadas por p(x) = (x − x0 )p(x) yq(x) = (x − x0 )2 q(x) son analíticas en x0 .
El Método de Frobenius asegura la existencia de una solución de la forma
+∞
r

an (x − x0 )n

ϕ(x) = |x − x0 |

n=0
+∞

Donde σ(x) =

an (x − x0 )nconverge en el intervalo ]x0 − ρ, x0 + ρ[ , donde ρ = min{ρ1 , ρ2 }, con ρ1 y ρ2 los

n=0

radios de convergencia de p(x) y q(x) respectivamente, y r una raíz del polinomio indicial P (r) = r(r − 1) + p0 r +q0
, donde p0 = p(x0 ) y q0 = q(x0 ). Sin embargo se puede observar que la solución ϕ no necesariamente esta definida
en ]x0 − ρ, x0 + ρ[. Se puede garantizar que ϕ esta definida como solución de laE.D.O. ∀x con 0 < x − x0 < ρ o
bien ∀x con 0 < x0 − x < ρ. Para encontrar una segunda solución, se separa en casos dependiendo de las raices de
P (r). Denotemos r1 , r2 las raices de P (r), dondeRe(r1 ) ≥ Re(r2 ):
1. r1 − r2 ∈
/ N ∪ {0}
En este caso existen dos soluciones de la forma:
+∞

an (x − x0 )n

φ1 (x) = |x − x0 |r1
n=0
+∞

bn (x − x0 )n

φ2 (x) = |x − x0 |r2
n=0

Donde an y bn seobtienen reemplazando directamente en la E.D.O.
2. r1 = r2
En este caso existen dos soluciones de la forma:
+∞

an (x − x0 )n

φ1 (x) = |x − x0 |r1
n=0
+∞

φ2 (x) = |x − x0 |r2

bn (x − x0 )n + ln(x)φ1 (x)n=0

Donde an y bn se obtienen reemplazando directamente en la E.D.O.
3. r1 − r2 ∈ N
En este caso existen dos soluciones de la forma:
+∞

φ1 (x) = |x − x0 |r1

an (x − x0 )n
n=0

+∞

φ2 (x) = |x − x0...