Frobenius metodo

3. EJEMPLOS

Ejemplo 2:
Hallar por el método de Frobenius, la solución general de la ecuación diferencial , en un entorno reducido de x = 0. Justificación previa de la idoneidad del método. Campode validez de la solución.

El punto x = 0 es singular pues p(x) = no es analítica en dicho punto. Pero x p(x) = y x2 q(x) = , son ambas analíticas en x = 0. (Es decir que x = 0 es puntosingular regular de la ecuación). Los radios de convergencia de los desarrollos de x p(x) y x2 q(x) en torno a 0 son ambos . Existe por tanto solución de la ecuación por el método de Frobenius, válidaal menos x 0. Supóngase en principio x > 0.

Al menos hay una solución de la forma
Sustituyendo en la ecuación diferencial :
2 + +
Coeficiente de xr-1 :
Coeficiente de xr :pues (r+1)(2r+1) no se anulan para r1 ni para r2.
Coeficiente de xn+r-1 : , es decir I(n+r) an= - an-2

Por tanto : Ley de recurrencia

Según el teorema, como r2 r1 y r1 - r2 N ,existen con seguridad dos soluciones linealmente independientes, en serie de Frobenius.

y como a1 = 0 , resulta :




Luego :

Solución general :

Ejemplo 3

Ídem para laecuación diferencial expresando la solución general con funciones elementales en nº finito.

Análogamente al caso anterior x p(x) = 2 y x2 q(x) = , son analíticas en x = 0, siendo R1 = R2 = .Luego existe solución por el método de Frobenius, válida al menos x0.

Sustituyendo en la ecuación diferencial :
+ 2 +

Coeficiente de xr-1 :

Difieren en un entero r1 y r2 r1 - r2= n0 = 1. Luego en principio sólo puede asegurarse la existencia de una solución en serie de Fröbenius : la correspondiente a r1.

Coeficiente de xr :



Coeficiente de xn+r-1 :Para r1 = 0 y como a1 = 0
Luego , de donde, tomando a0 = 1, resulta :



Para r2 = -1 es . El a1 es libre y como se busca otra solución particular, puede escogerse a0 = 1...