Frobenius

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA

ECUACIONES DIFERENCIALES

Problema Resuelto Mediante el metodo de Frobenius, en donde r1=r2.INTEGRANTES:

Arizaca Paca, Jorge Ronald. 20042600K

SECCIÓN: C

PROFESOR:
ING. Carlos Alfonso Rojas Serna.

Lima –2010

Problema : Aplicando elmetodo de Frobenius, hallar la solucion gerneral de:

X2y’’ + (x2 – 3x)y’ – (x - 4)y = 0 ………..(1)

Solucion: Deducimos que x0 = 0 es un punto singular regular de (1).Sea y1(x) = [pic]la primera solucion de (1). Derivando y reemplazando:

[pic]

Igualando potencias e inicios en forma conveniente y agrupando tenemos:

[pic]
Porcoeficientes indeterminados:

r(r - 1) – 3r + 4 = 0 (ecuación inicial, ya que a0 ≠ 0). Resolviendo tenemos: r1 = r2 = 2

Por otro lado:

(r + k)(r + k -1)ak + (r + k -1)ak-1 – 3(r + k)ak – ak-1 + 4ak = 0 , ¥ k ≥ 1

=> ak = [pic] ¥ k ≥ 1 ……(I)

Si r = r1 = 2, en (I) tenemos: ak = [pic] , ¥ k ≥ 1
Si k = 1 => a1= -a0

Si k =2 => a2 = [pic]
Si k = 3 => a3 = [pic]
Si k = 4 => a4 = [pic]
Si k = 5 => a5 = [pic]

Luego la solucion y1(x) es:

Y1(x) =[pic]

⇨ y1(x) = [pic]
⇨ y1(x) =[pic][pic], donde a0 = 1

Calculo de la segunda solucion y2(x). En este caso r1 = r2 = 2, Calcularemos y2(x) por el metodo alternativo.

Sea y2(x) = [pic] , dondelos coeficientes de y(r.x) = [pic]se mantienen en funcion de r, de acuerdo a la formula de recurrencia (I).

De (I): [pic]
Para [pic]
Para [pic]
Para [pic]
Para [pic]Luego y(r,k)[pic]
[pic]
Ahora [pic]
Entonces [pic]
[pic]

[pic]
Luego: [pic] , donde a0 = 1

La solucion general es:

[pic]
-----------------------
[pic]