Apunte nº1 números naturales y enteros.mat1

UNIDAD Nº1: NÚMEROS REALES

NÚMEROS NATURALES
Los primeros números que surgieron fueron los números naturales, los cuales se utilizaban y se utilizan para contar elementos de un conjunto finito.

Axiomas de Peano (Peano, matemático del siglo IX)

Éstos describen al conjunto de los números naturales, que se denota por [pic], de la siguiente forma:

1.- Sea el número natural 1
2.-Cada número natural a tiene un subsiguiente, denotado por a + 1. (Sucesor)
3.- No hay números naturales cuyo subsiguiente sea 1.
4.- Si dos números naturales son distintos, sus subsiguientes también lo son, esto es: si [pic], entonces [pic]
5.- Si S es un subconjunto de los números naturales tal que cumple con:
• 1 [pic] en S
• n [pic] S implica que n + 1 está en S, entonces S es elconjunto de los números naturales

Por lo tanto los números naturales son: 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …

Hoy en día consideramos los números naturales, a partir del cero, por lo que los axiomas de Peano, también son válidos pero tomando como primer elemento del conjunto de los números naturales el “0”.

NÚMEROS PARES E IMPARES

Observa que los números pares son: 2, 4, 6, 8, 10, 12,etc.
Escribe una nomenclatura para escribir en forma general todos los números pares:

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Observa que los números impares son: 1, 3, 5, 7, 9, 11, etc.
Escribe una nomenclatura para escribir en forma general todos los números impares:

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PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS NATURALES

• Adición: de númerosnaturales cumple las propiedades de clausura, asociatividad y conmutativa, elemento neutro.
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1.- Clausura: Sí a y b [pic] IN, entonces (a +b) [pic] IN
Por ejemplo: 3 [pic] IN y 8 [pic] IN, entonces (3 + 8) [pic] IN. Es decir 11 [pic] IN

“Esta propiedad significa que si sumas dos elementos del conjunto de los números naturales, el resultado será un número natural, es decir, un elementodel mismo conjunto”.

2.- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
|(a + b) + c = a + (b + c) |

Por ejemplo: (7 + 4) + 5 = 7 + (4 + 5)
11 + 5 = 7 + 9
16 = 16
“Es decir, no importa en la forma que agrupes losnúmeros para sumarlos, el resultado es el mismo”.
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3.- Conmutatividad: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
a + b = b + a

En particular, para los números 7 y 4, se verifica que: 7 + 4 = 4 + 7 = 11

“Si cambias el orden de los sumandos, el resultado de la suma permanece igual”

4.- Elemento Neutro: El 0 es el elemento neutro de la adición porque,cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a + 0 = a

Por ejemplo: 3 [pic] IN, entonces 3 + 0 = 3

• Multiplicación: de números naturales cumple las propiedades de clausura, asociatividad, conmutatividad, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.

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1.- Clausura: Sí a y b [pic] IN, entonces (a ·b) [pic] IN
Por ejemplo: 3 [pic] IN y 8 [pic]IN, entonces (3 · 8) [pic] IN. Es decir 24 [pic] IN

2.- Asociativa: Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:
|(a · b) · c = a · (b · c) |

Por ejemplo: (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)
15 · 2 = 3 · 10
30 = 30

Los resultados coinciden, es decir, (3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)| | | |

3.- Conmutatividad: Si a, b son números naturales cualesquiera se cumple que: a · b = b · a
Por ejemplo: 5 · 8 = 8 · 5 = 40

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4.- Elemento Neutro: El 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea el número natural a, se cumple que: a · 1 = a
Por ejemplo: 3 [pic] IN, entonces 3 · 1 = 3

5.- Elemento absorbente: El 0 es el...