Apuntes de lógica, conjuntos y mas

´ Elementos de Algebra L´gica, Conjuntos, Relaciones, Funciones o y algo m´s... a
Dr. Carlos Lizama Departamento de Matem´tica y C.C. a Facultad de Ciencias Universidad de Santiago de Chile

Prefacio
Este texto de estudio est´ dirigido a estudiantes de primer ciclo de ense a nanza en la Universidad de Santiago de Chile. En ´l se abordan los aspectos ˜ e b´sicos de matem´tica, como son susfundamentos axiom´ticos a partir de a a a la l´gica y la teor´ de conjuntos. Se han escrito los primeros cap´ o ıa ıtulos de este libro en la convicci´n que una buena base formativa en el primer a˜o de o n ense˜anza universitaria son fundamentales para el buen avance y progreso n del estudiante en su trayecto en la universidad. De esta manera se aborda desde un principio la idea de la demostraci´n oprueba matem´tica pero o a de una manera simple y gradual, avanzando hacia formas m´s abstractas a hacia el final del segundo cap´ ıtulo. En el tercer cap´ ıtulo se aborda un cl´sico a tema: Inducci´n Matem´tica. Se espera que con una buena comprensi´n y o a o ejercitaci´n de los contenidos previos, el estudiante pueda abordar este t´pico o o con menor grado de dificultad que el quetradicionalmente ocurre. Los cap´ ıtulos siguientes son una elecci´n arbitraria del autor. Se preo tende cubrir materias que requieren de un manejo fluido y que son el m´ ınimo necesario para tratar de asegurar el ´xito posterior del estudiante. Es com´n e u encontrar j´venes con falencias cuya causal es motivo de discusi´n y preocuo o paci´n en diversos estamentos. Sin embargo el objetivo aqu´ es ocuparse del oı problema, e intentar dar los elementos para resolverlo. Para ello, el cuarto y quinto cap´ ıtulos comienzan abordando conceptos b´sicos de geometr´ a ıa anal´ ıtica. La idea de gr´fico, recta y funciones cuadr´ticas son cubiertos a a con gran detalle. El sexto cap´ ıtulo cubre el material de funci´n exponeno cial y logaritmo. Es com´n encontrar fallas en el estudiante cuando ocupa u propiedadesb´sicas de estas funciones que son fundamentales en ´lgebra y a a c´lculo avanzado. Sin embargo un adecuado estudio mediante la visualizaci´n a o gr´fica y, a partir de ello, el estudio de sus principales propiedades subsana a notablemente el problema. Finalmente, el s´ptimo cap´ e ıtulo introduce la no2

ci´n de sistemas de ecuaciones y matrices, a fin de preparar el camino para o un cursoposterior sobre teor´ de matrices y ´lgebra lineal. ıa a No es f´cil escribir un texto de matem´tica a nivel elemental cuando ya a a se han escrito muchos y de muy buena calidad. Es factible, sin embargo, reorganizar el material ya existente en un texto que est´ orientado a las e condiciones particulares de los estudiantes de una universidad o de un programa particular. Esto es precisamente lo que se hapretendido hacer de estos apuntes. El autor agradece desde ya a aquellos lectores que puedan contribuir a la mejor´ de estos apuntes y a la ense˜anza de la matem´tica mediante sus ıa n a opiniones y sugerencias. Especiales agradecimientos a Maricel C´ceres, quien escribi´ en Latex, en a o tiempo r´cord y con mucha dedicaci´n y paciencia el material de este texto. e o

Dr. Carlos LizamaSantiago, 2002.

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´ Indice General
1 L´gica o 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 6

Implicaci´n y Bicondicional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 o Tautolog´ ıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Argumentos y el principio de demostraci´n . . . . . . . . . . . 18 o Cuantificadores . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . 24 M´todos de Demostraci´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 e o Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 36

2 Conjuntos, Relaciones y Funciones 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6

Conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Conjuntos de validez de funciones proposicionales . . . . . . . 44 Relaciones . ....