Apuntes de matemáticas de pepe aranda

2011

APUNTES DE

MATEMÁTICAS
(Cálculo y repaso)

Pepe Aranda
http://jacobi.fis.ucm.es/pparanda

Departamento de Métodos Matemáticos Facultad de Físicas. UCM
http://www.ucm.es/centros/webs/d215

Matemáticas (2011-2012). Grupo E

Índice
Bibliografía
Sobre las versiones de los apuntes

1. Preliminares
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 Conjuntos. Lenguaje matemático N , Z y Q . mcd y mcm.Progresiones. Binomio de Newton El conjunto R . Desigualdades. Valor absoluto Repaso de las funciones elementales El conjunto C . Operaciones con complejos 1 4 8 13 19

2. Sucesiones, límites y continuidad en R
2.1 Sucesiones de números reales 2.2 Límites de funciones. Funciones continuas 2.3 Teoremas sobre funciones continuas en intervalos 21 26 33

3. Derivadas en R
3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6Definición y cálculo Teoremas sobre funciones derivables Polinomios
Aproximación numérica de ceros

Representación de funciones Aplicaciones

35 40 45 47 49 53

4. Series, Taylor y límites indeterminados
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 Series de números reales Sucesiones y series de funciones Series de potencias Polinomios y series de Taylor Cálculo de límites indeterminados
Series complejas depotencias

55 62 65 68 74 81

5. Integración en R
5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 Definición y propiedades Teoremas fundamentales Cálculo de primitivas Integrales impropias Integración aproximada Aplicaciones 85 87 91 96 100 105 I XI

Problemas Problemas adicionales

Bibliografía
[Sp] M. Spivak. Calculus. Ed. Reverté [L] S. Lang. Cálculo. Ed. Addison-Wesley Iberoamericana [St] S. Stein. Cálculo ygeometría analítica. Ed. McGraw-Hill [LHE] Larson-Hostetler-Edwards. Cálculo y geometría analítica. Ed. McGraw-Hill [Sw] J. Stewart. Cálculo diferencial e integral. International Thomsom Ed. [A] T. Apostol. Calculus. Ed. Reverté [CJ] Courant-John. Introducción al cálculo y al análisis matemático. Ed. Limusa-Wiley [B] J. Burgos. Cálculo infinitesimal de una variable. Ed. McGraw-Hill [K] K. Kuratowski.Introducción al cálculo. Ed. Limusa-Wiley Elaborar apuntes de una asignatura tiene la ventaja de precisar qué es lo que se va a explicar durante el curso. Además permite al estudiante no estar todo el rato pendiente de copiar a toda velocidad (con los errores que produce) lo que se escribe en la pizarra. Pero tiene también sus desventajas. La existencia de los apuntes incita a utilizar poco otroslibros, que dan otras visiones de la asignatura y que tratan diferentes temas con más extensión, ejemplos, aplicaciones o rigor (según los casos) que en dichos apuntes. Es importante, como se ha dicho, consultar libros. El problema básico de la bibliografía para un curso de Cálculo (o de Matemáticas) de primero es que no existe ‘el libro adecuado’ a todos los alumnos, pues éstos llegan a launiversidad con muy diferente formación matemática. El ideal sería que toda persona de primero de Físicas pudiera seguir un libro tan bonito como el Spivak. Pero ese ideal es poco real. En teoría, en las asignaturas de matemáticas del bachillerato se han tratado (eso dicen los programas oficiales) bastantes temas de los que se van a repasar o profundizar en la asignatura de Matemáticas. Por ejemplo:factoriales, números reales, operaciones elementales con complejos, inecuaciones, rectas, trigonometría, exponenciales y logaritmos, sucesiones, concepto intuitivo de límites, derivación, gráficas, primitivas sencillas o cálculo de áreas. Según esto, sólo parte de los temas de Matemáticas se verían por primera vez: la definición rigurosa de límites, todo lo relativo a series, las sucesiones de funciones,los desarrollos de Taylor, las primitivas complicadas, las integrales impropias y pocas cosas más (además del cambio que suele representar la insistencia de los profesores universitarios en ‘las demostraciones’). La experiencia dice que, aunque hay un porcentaje digno de estudiantes que sí controlan buena parte de los citados temas del bachillerato, hay otra parte (por desgracia no muy...