Apuntes de matematicas basicas

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Breve apunte de matem´ticas b´sicas. a a
Jorge Rivera
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3 de agosto de 2004

de Econom´ Universidad de Chile, Diagonal Paraguay 257, Torre ıa, 26, Of. 1502, Santiago, Chile. email: jrivera@econ.uchile.cl

1 Departamento

´ Indice general
1. Conceptos b´sicos a 1.1. Conceptos matem´ticos fundamentales a 1.2. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Algunas funciones especiales .. . . . . 1.4. Optimizaci´n . . . . . . . . . . . . . . o 3 3 10 14 15

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´ INDICE GENERAL

Cap´ ıtulo 1 Conceptos b´sicos a
1.1. Conceptos matem´ticos fundamentales a

Dada una funci´n f : I n → I recordemos que laderivada parcial c.r a la o R R, ∗ ∗ variable xj , evaluada en x = (x1 , x∗ , ..., x∗ ), se define como: 2 n f (x∗ , x∗ , ..., x∗ + hj , x∗ , ..., x∗ ) − f (x∗ , x∗ , ..., x∗ ) ∂f (x∗ ) 1 2 j j+1 n 1 2 n = l´ ım , hj →0 ∂xj hj es decir, la derivada de la funci´n c.r a la variable indicada, asumiendo que todo o el resto es constante. En forma an´loga, la segunda derivada parcial c.r a las variables xi, xj (que a ∂ 2 f (x∗ ) denotaremos ∂xi ∂xj ) se define como la derivada parcial c.r a xi de la derivada parcial c.r a xj , es decir: ∂ ∂f (xj ) ∂ 2 f (x∗ ) ∂x = . ∂xi ∂xj ∂xi En lo que sigue, asumiremos que las dobles derivadas parciales cruzadas son iguales1 . En otras palabras, en todo lo que sigue trabajaremos bajo el supuesto siguiente: ∂ 2 f (x∗ ) ∂ 2 f (x∗ ) = , ∀ i, j. ∂xi ∂xj ∂xj ∂xiDadas las dobles derivadas parciales, para una funci´n de varias variables o n f : I → I la segunda derivada es una matriz de n × n, llamada matriz R R,
En rigor, para ello basta que las funciones sean dos veces diferenciables y que las derivadas parciales sean continuas, vistas como funci´n. En lo que sigue asumiremos tales condiciones, o que aunque algo t´cnicas, se verifican en la mayor´ de loscasos de nuestro inter´s. e ıa e
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´ CAP´ ITULO 1. CONCEPTOS BASICOS

Hessiana, cuyos elementos constituyentes son dichas dobles derivadas parciales. De esta manera, la matriz Hessiana corresponde a:
     ∗ H(f, x ) =    
∂ 2 f (x∗ ) ∂x1 ∂x1 ∂ 2 f (x∗ ) ∂x2 ∂x1

... . . . ...

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∂ 2 f (x∗ ) ∂xn ∂x1

        

∂ 2 f (x∗ ) ∂x1 ∂xn

∂ 2 f(x∗ ) ∂x2 ∂xn

∂ 2 f (x∗ ) ∂xn ∂xn

Para el caso de una funci´n f : I → I (es decir, de una variable), los concepo R R tos son similares a los anteriores, pero ahora considerando que s´lo tenemos una o ∗ unica fuente de variaci´n (una variable). As´ la derivada en x , que ser´ denotada ´ o ı, a df (x∗ ) ∗ ∗ indistinatemte como f (x ) o dx o Df (x ), se define como: f (x∗ ) = l´ ım f (x∗ + h) −f (x∗ ) . h→0 h

De manera natural se define la segunda derivada de una funci´n de una vario able como la derivada de la derivada. As´ tendremos que2 : ı f (x∗ + h) − f (x∗ ) . h→0 h

f (x∗ ) = l´ ım

Geom´tricamente, la primera derivada se puede interpretar como la pendiente e de la recta tangente al grafo de la funci´n en el punto (x∗ , f (x∗ ) tal como se ilustra o en la siguiente figura:Para definir la derivada de orden n de una funci´n de una variable, se procede en forma reo cursiva: definida la derivada de orden (n−1), la derivada de orden n en un punto es simplemente la derivada de la derivada de orden (n − 1) en dicho punto. Es decir: df (n−1) (x∗ ) f (n−1) (x∗ + h) − f (n−1) (x∗ ) = l´ ım . h→0 dx h
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f (n) (x∗ ) =

Para una funci´n de varias variables f : I n → Idefinir una derivada de orden mayor a 2 es o R R, complejo. Note que en dicho caso, la primera derivada es un vector y la segunda una matriz. Siguiendo con esa l´gica, la tercera derivada ser´ un cubo, la cuarta un hipercubo, etc. Muy o a complejo en notaci´n y dif´ de interpretar. o ıcil

´ 1.1. CONCEPTOS MATEMATICOS FUNDAMENTALES

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f

f(x*)

m=f'(x*)

x*
Puesto que la pendiente de...
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