Apuntes geometría (2ºBach)

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
2º Bacharelato Ciencias

O (0 ,0 ,0 ) P (p 1 , p 2 , p 3 ) d(d 1 , d 2 , d 3 ) X (x , y , z )

O (0 ,0 ,0 ) P (p 1 , p 2 , p 3 ) u (u 1 , u 2 , u 3 ) v(v 1 , v 2 , v 3 ) X (x , y , z )

OX = OP + λd → (x , y , z ) = (p 1 , p 2 , p 3 ) + λ (d 1 , d 2 , d 3 )

OX = OP + λ u + µ v → (x , y , z ) = (p1 , p 2 , p 3 ) + λ (u 1 , u 2 , u 3 ) + µ(v 1 , v 2 , v 3 )⎧x = p 1 + λ d 1 ⎫
⎡P (p 1 , p 2 p 3 ) ⎤
⎪
⎪
→ ⎨y = p 2 + λ d 2 ⎬
⎢
⎥
⎢d(d 1 , d 2 , d 3 )⎥
⎪z = p + λ d ⎪
⎣
⎦
3
3 ⎭
⎩

( 1 2 3
⎡ P p , p ,p ) ⎤
⎧x = p 1 + λ u 1 + µ v 1 ⎫
⎢
⎥
⎪
⎪
u (u 1 , u 2 , u 3 )⎥ → ⎨y = p 2 + λ u 2 + µ v 2 ⎬
⎢
⎢
⎥
⎪z = p + λ u + µ v ⎪
3
3
3 ⎭
⎩
⎢ v (v 1 , v 2 , v 3 ) ⎥
⎣
⎦

⎡P (p 1 , p 2 p 3 ) ⎤
x − p1 y − p2 z − p3
=
=
⎥→
⎢
d1
d2
d3⎢d(d 1 , d 2 , d 3 )⎥
⎦
⎣

⎧λ d 1 = x − p 1 ⎫
⎛ d1
⎛ d1 ⎞
⎜
⎜ ⎟
⎪
⎪
→
⎨λ d 2 = y − p 2 ⎬ tiene rg ⎜ d 2 ⎟ = rg ⎜ d 2
⎜d
⎪λ d = z − p ⎪ solución ⎜ d ⎟
3 ⎭ si
⎝ 3
⎝ 3⎠
⎩ 3

x − p1 ⎞
⎟
y − p2 ⎟ = 1 →
z − p3 ⎟
⎠

d1 x − p1
⎡ d1 x − p1
⎤
=0
= 0⎥
→
⎢
d3 z − p3
⎣ d2 y − p2
⎦ deesarroll ando
⎧Ax + By + Cz + D = 0 ⎫
⎬
⎨
⎩A' x + B' y + C' z + D' = 0 ⎭

⎧λu 1 + µv 1= x − p 1 ⎫
⎛ u1
⎜
⎪
⎪
→
⎨λu 2 + µv 2 = y − p 2 ⎬ tiene rg ⎜ u 2
⎪λu + µv = z − p ⎪ solución ⎜ u
3
3 ⎭ si
⎝ 3
⎩ 3
u1
u2

v1
v2

x − p1
y − p2 = 0

u3

v3

z − p3

v3

x − p1 ⎞
⎟
y − p2 ⎟ = 2 →
z − p3 ⎟
⎠

Ax + By + Cz + D = 0

V.Normal → n (A , B , C ) = u x v

V.Director → Re solver sistema , o bien d = (A , B , C ) x (A' , B' , C')

V.Directores → u (− B, A ,0 ) v (− C ,0 , A )

⎡Punto → P (p 1 , p 2 , p 3 )
⎤
⎡P (p 1 , p 2 , p 3 ) ⎤
⎥
⎢Q (q , q , q )⎥ → ⎢
1
2
3 ⎦
⎣
⎢ V.Director → PQ = (q 1 − p 1 , q 2 − p 2 , q 3 − p 3 )⎥
⎣
⎦

⎡Punto → P (p 1 , p 2 , p 3 )
⎤
⎡P (p 1 , p 2 , p 3 ) ⎤
⎥
⎢Q (q , q , q )⎥ → ⎢
PQ = (q 1 − p 1 , q 2 − p 2 , q 3 − p 3 )⎥
⎢
1
2
3 ⎥
⎢
V.Directores →
⎢
⎥
⎢R (r1 , r2 , r3 ) ⎥
⎣
⎦
PR = (r1 − p1 , r2 − p 2 , r3 − p 3 ) ⎥
⎢
⎣
⎦

q 1 − p1
desarrolla r q − p
2
2
→

x − p1
q 1 − p1
=0 y
y − p2
q 3 − p3

x − p1
=0
z − p3

1
x

1
p1

q 1 − p1
→

desarrollar

r1 − p 1

x − p1

q 2 − p2
q3 − p3

r2 − p 2
r3 − p 3

y − p2 = 0 o
y p2
z − p3
z p3

1
q1

1
r1

q2
q3

r2
r3

=0

⎡P (p 1 , p 2 , p 3 )⎤
⎧PX ⋅ n = 0
o bien
⎢
⎥
⎪
⎢n (A, B , C ) ⎥ → ⎨
⎛ calcular D sustituyen do ⎞
⎟
⎢ X (x , y , z ) ⎥
⎪Ax + By + Cz + D = 0 ⎜
⎜ X por P
⎟
⎢
⎥
⎝
⎠
⎩
⎣
⎦

(

)

)
(
)
( )
(
∗ r (R , d ) y s (S , d') sec antes → π (r , s ) → π (R , d , d')
∗ r (R , d ) y s (S , d') paralelas → π (r , s ) → π (R , d , RS )
∗ π (P , n ) → π (P , u , v ) (u (− B , A ,0 ), v (− C ,0 , A ))
∗ π (P , Q , R ) → π P , PQ , PR

( )∗ r R, d

( )
∗ r (π , π') → r (P , n x n ) con

∗ r R , d y S ∉ r → π (r , S ) → π R , d , RS

∗ r (P , Q ) → r P , PQ
π

π'

P ∈ π I π'

n (A , B , C )

Haz de
planos

v1
v2

Punto → Dar valores a x e y , y calcular z en la ecuación .

∗ π P, u, v

Determinaciones
lineales

→

desarrolla ndo

v1 ⎞
⎛ u1
⎜
⎟
v 2 ⎟ = rg ⎜ u 2
⎜u
v3 ⎟
⎝ 3
⎠

Punto → Darvalor a z , y calcular x e y en el sistema

Con punto y
vector normal

Con puntos

Ecuación general, implícita
o cartesiana

Ecuación
continua

Ecuacón
vectorial

PLANO

Ecuaciones
paramétricas

RECTA

⎧Ax + By + Cz + D = 0
Con eje común r : ⎨
⎩A' x + B' y + C' z + D' = 0
α (Ax + By + Cz + D ) + β (A' x + B' y + C' z + D') = 0 con α , β ∈ ℜ

Paralelos a π : Ax + By + Cz+ D = 0
Ax + By + Cz + k = 0 con k ∈ ℜ

Posiciones
de dos rectas

⎧Ax + By + Cz + D = 0 ⎫
r:⎨
⎬
⎩A' x + B' y + C' z + D' = 0 ⎭
⎧A' ' x + B' ' y + C' ' z + D' ' = 0 ⎫
s:⎨
⎬
⎩A' ' ' x + B' ' ' y + C' ' ' z + D' ' ' = 0 ⎭

( )
( )
(

D ⎞ r : R,d
B
C
⎛ A
⎜
⎟
A' B' C' D' ⎟
⎜
s : S , d'
M∗ = ⎜
A' ' B' ' C' ' D' ' ⎟
⎜
⎟ P ∗ = d d' RS
⎜ A' ' ' B' ' ' C' ' ' D' ' ' ⎟...