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Determinación del tamaño de la muestra en un prueba de hipótesis para la media poblacional

Considere realizar una prueba de hipótesis para el valor de la media poblacional. El nivel de significancia elegido por el usuario determina la probabilidad de cometer un error tipo I en esta prueba. Al controlar el tamaño de la muestra, el usuario también controla la probabilidad de cometer un errortipo II. Enseguida se muestra cómo determinar el tamaño de la muestra en la muestra en la prueba de hipótesis de la cola inferior para la media poblacional que se da a continuación.
H0: m m0
H1: m < m0
En la figura A, la gráfica superior muestra la distribución muestral de cuando H0 es verdadera y m=m0. En una prueba de la cola inferior el valor crítico del estadístico de prueba se denota–za; la línea vertical, c, en la gráfica superior de la figura, señala el valor de correspondiente a –za. Observe que si se rechaza Ho cuando c, la probabilidad de cometer un error tipo I será a. Si za representa el valor de z que corresponde al área a en la cola superior de la distribución normal estándar, la fórmula siguiente se emplea para calcular c:
(1)

FIGURA A: DETERMINACIÓN DELTAMAÑO DE LA MUESTRA PARA VALORES DADOS DE LAS PROBABILIDADES DE COMETER UN ERROR TIPO I (a) Y UN ERROR TIPO II (b)

La gráfica inferior de la figura A es la distribución muestral de cuando la hipótesis alternativa siendo, m = ma < mo es verdadera. La región sombreada muestra b, la probabilidad de cometer un error tipo II al cual está expuesta la persona que toma la decisión si acepta lahipótesis nula cuando > c. Si zb representa el valor z que corresponde al área b en la cola superior de la distribución normal estándar, c se calcula empleando la fórmula siguiente.
(2)
Ahora lo que se busca es elegir un valor para c de manera que cuando se rechace H0 y se acepte Ha, la probabilidad de cometer un error tipo I sea igual a la probabilidad elegida para a y la probabilidad de cometer unerror tipo II sea igual al valor elegido para b. Por consiguiente, con ambas ecuaciones (1) y (2) se debe obtener el mismo valor de c y la ecuación siguiente debe satisfacerse.

Para determinar el tamaño de muestra que se necesita, primero se despeja como sigue.

A1 elevar al cuadrado ambos lados de la expresión se obtiene la fórmula siguiente para el tamaño de la muestranecesario en una prueba de hipótesis de una cola para la media poblacional.
TAMAÑO DE LA MUESTRA EN UNA PRUEBA DE HIPÓTESIS DE UNA COLA PARA LA MEDIA POBLACIONAL
(3)
donde
za : valor de z que deja un área a en la cola superior de la distribución normal estándar.
zb : valor de z que deja un área b en la cola superior de la distribución normal estándar.
s : desviación estándar poblacional.
m0 :valor de la media poblacional en la hipótesis nula
ma : valor de la media poblacional usada para el error tipo II
Nota: Para una prueba de hipótesis de dos colas, en la ecuación (3) se usa za/2 de za.

Aunque la ecuación (3) se dedujo para la prueba de hipótesis de la figura A, también es válida para cualquier prueba de hipótesis de una cola para la media poblacional. En una hipótesis de doscolas para la media poblacional, se usa za/2 de za en la ecuación (3)
Ejemplo:
El gerente de control de calidad tiene que decidir si acepta un pedido de baterías recibido de un proveedor o si lo rechaza por ser de mala calidad. Las especificaciones para las baterías indican que la media del tiempo de vida debe ser por lo menos 120 horas. Los pedidos se regresan si se rechaza Ho: m 120. Supongaque el gerente de control de calidad establece lo siguiente acerca de las probabilidades de cometer los errores tipo I y tipo II:
ü Para el error tipo I: si la media de la vida útil de las baterías del pedido es m = 120, estoy dispuesto a correr el riesgo de que la probabilidad de rechazar el envío sea 0,05
ü Para el error tipo II: si la media de la vida útil de las baterías del pedido es...
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