Apuntes sistemas y matrices

Matem´ticas I a
Grado de Qu´ ımicas

Dpto. de Matem´tica Aplicada. a Facultad de Matem´ticas. a Universidad de Santiago de Compostela.

Grado de Qu´ ımicas

Matem´ticas I a

´ Tema II. Introducci´n al Algebra lineal y aplicaciones. o
a) Matrices e determinantes. M´todo de Gauss para a resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineais e o e o c´lculo da matriz inversa. a

Sistemas deecuaciones lineales y m´todo de Gauss e [Ref.: Lay, pp 1-26 ´ Neuhauser, pp. 523-536] o Sistema de m ecuaciones lineales y n inc´gnitas: o   a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn = b1 ...  am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm aij ∈ R, i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n son los coeficientes del sistema, bi ∈ R, i = 1, . . . , m son los t´rminos independientes y e xj ∈ R, j = 1, . . . , n son lasinc´gnitas. o Ejemplo 2x + 3y = 6 2x + y = 4 Sistema de 2 ecuaciones lineales y dos inc´gnitas, x e y o
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(1)

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Ejemplo Resolver el sistema 2x + 3y = 6 2x + y = 4Soluci´n: x = 3/2, y = 1 o Cada ecuaci´n representa una recta en el o plano, y se intersecan en el punto de coordenadas P(3/2, 1)

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Propiedad Casu´ ıstica desoluciones
Una unica soluci´n (por cada inc´gnita): Sistema Compatible Determinado. ´ o o Infinitas soluciones (por cada inc´gnita): Sistema Compatible Indeterminado. o Ninguna soluci´n: Sistema Incompatible. o

Sistemas equivalentes: Poseen las mismas soluciones. Transformaci´n en un sistema equivalente (M´todo de Gauss): o e   Intercambiar dos ecuaciones Multiplicar una ecuaci´n por un no distintode cero o Operaciones elementales  Sumar a una ecuaci´n un m´ltiplo de otra o u

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Ejemplo Resolver por el m´todo de Gauss el sistema e 2x + 3y = 6 2x + y = 4Soluci´n: o 2x + 3y = 6 2x + y = 4 −→
Ec2 - Ec1

2x

+ −

3y 2y

= =−

6 2

A partir de aqu´ se procede de abajo a arriba: ı y =1 x = (6 − 3)/2 = 3/2

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Notaci´n matricial: Matrices de coeficientes y ampliada del S.E.L. (1): o  a11  a21   ... am1 a12 a12 am2 ... ... ...  a1n a2n   =: A  amn  a11  a21   ... am1 a12 a12 am2 ... ... ... a1n a2n amn  b1 b2   =: A|b  bm

En el ejemplo anterior la matriz ampliada es:   . . 6  2 3 .  . 2 1 . 4 .

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Efectuamos ahora las operaciones por filas, en lugar de operar con las ecuaciones, para hacer ceros los coeficientes que est´n por debajo de la a diagonal principal, aii , i = 1, . . . , m:     . . 2 3 . 6  F2 −F1  2 3 . 6  . . −→ . . . 2 1 . 4 . 0 −2 . −2 . Una vez conseguida una matriz escalonada (aquella en la que puede trazarse una escalera descendente tal que cada pelda˜o tiene altura 1 y n debajo de la escalera todos los elementos de la matriz son cero) escribimos nuevamente el sistema, 2x y se resuelve por remonte.
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+ 3y − 2y

= 6 =− 2

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