Apuntes sumatoria

SUMATORIAS Y PRODUCTORIAS  Una sumatoria es una expresión simbólica que se utiliza para abreviar la suma de un  número finito de términos que satisfacen una cierta ley de formación.  Por ejemplo, en la siguiente suma  S , aparentemente, los tres términos que la componen  siguen una ley de formación: 

S = − t1 + 3t 4 − 5t 9 . Observe en esta suma que: los coeficientes de los términos corresponden a los tres  primeros impares; los signos se alternan; las potencias de  t  corresponden a los  cuadrados de los tres primeros naturales.  Con un poco de experiencia y después de  unos intentos, se puede encontrar una fórmula en una variable (usualmente  i, j, k ) que  reproduzca cada término desde un cierto entero inicial  m  hasta un último entero  terminal  n .  En el ejemplo, una fórmula posible es ( −1) ( 2i −1) t i
i

2

. 

Esta fórmula, evaluada para  i =1, 2,3  produce exactamente los tres términos que  conforman la suma  S  dada.  Por esta razón, eligiendo como entero inicial  m =1  (y por  tanto, como entero final  n = 3 ) anotamos: 

S = ∑ ( −1) ( 2i −1) t i . 
i
2

n

i=m

Los números enteros  m  y  n ,  m ≤ n , se denominan, respectivamente, límite inferior y límite superior de la sumatoria.  Se debe entender que el término “sumatoria” alude a la  expresión simbólica a la derecha de la última igualdad.  Así, una sumatoria contiene: el  signo en sí de sumatoria ( Σ ), los dos límites, y el denominado término general que, en  nuestro ejemplo, es  ( −1) ( 2i −1) t i . 
i
2

Resumiendo, si el término general es  ai , entonces: 

∑a =a
i=m i

n

m+ am +1 + am + 2 + ... + an −1 + an . 

Si en particular,  n = m , entonces, 

Sumatorias y Productorias  Héctor Hevia (2010, v2)   

∑a =a
i=m i

m

m

. 

A continuación, presentamos las principales propiedades que tiene esta notación.    Propiedades 1  1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.   Demostraciones  No se darán demostraciones formales de estas propiedades.  Se recomienda convencerse de que estas propiedades tienen pleno sentido, aplicando la definición  (intuitiva) que se ha dado.  Por ejemplo, para convencerse de Propiedad 6, elegimos 

∑ ( ai + bi ) = ∑ ai + ∑ bi  
i=m n i=m i=m

n

n

n

∑ cai = c∑ ai ,    c  una constante 
i=m n i=m

n

∑ c = n ⋅ c ,    c  una constante 
i =1 n

∑ c = ( n − m +1) c ,    c  una constante 
i=m p

∑ ai = ∑ ai +
i=m ni=m i=m i i +1

n

i = n +1

∑ a ,    n  un entero tal que  m ≤ n < p . 
i m

p

∑ (a − a ) = a

− an +1    (propiedad telescópica) 

∑ ai =
i=m

n

n − m +1

∑
i =1

am −1+ i    (cambio de límites) 

m =1 y escribimos, por definición: 

∑(a − a ) =(a − a ) + (a
n i =1 i i +1

1

2

2

− a3 ) + ( a3 − a4 ) + ... + ( an −1 − an ) + ( an − an +1 )  Luego, después de cancelar términos semejantes, se obtiene la propiedad.   
2   

Sumatorias y Productorias  Héctor Hevia (2010, v2)   

A continuación se presentan otras propiedades relacionadas con sumas particulares de  enteros.  Una forma de probarlas es a través del Principio de Inducción Matemática.    Propiedades 2  1. 2.

∑i =
i =1 n

n

n ( n + 1)   2 n ( n + 1)( 2n + 1)   6
2

∑i
i=1
n

2

=

⎛ n ( n + 1) ⎞ 3. ∑ i = ⎜ ⎟   i =1 ⎝ 2 ⎠
3

4. 5. 6.  

∑i
i =1 n i =1

n

4

=

n ( n + 1) ( 6n3 + 9n 2 + n − 1) 30
2

 

∑ ( 2i − 1) = n

 

∑ ( 2i − 1)
i =1

n

2

=

n ( 2n −1)( 2n + 1)   3

Ejercicios  1. Sean  xi , yi ,  i =1, 2,..., n ; números reales.  Sea  x = i. ii.

1 n ∑ xi .  Demuestre que  n i =1

∑ ( x − x) = ∑ x
n 2 n i =1 ni i =1 i =1 i i

2 i

−n x  
n

()
i

2

∑ ( x − x )( y − y ) = ∑ x y − nx y  
i =1 i

  2. Sea  ai = a + ( i −1) d ,  i =1, 2,..., n .  Observe que los términos  a1 , a2 ,..., an  forman una  progresión aritmética de  n  términos, con término inicial  a  y con diferencia  d .   Demuestre que la suma de los términos de esta progresión aritmética es: 

∑a =n
i =1...