aputne intro al calculo

SEMANA 1:

N´
umeros Reales
1.1 Introducci´
on
El conjunto de los n´
umeros reales, denotado por R, es un conjunto cuyos elementos se llaman n´
umeros
reales, en el cual se definen dos operaciones llamadas suma o adici´
on y multiplicaci´on o producto.
En R existen numerosas propiedades que han sido usadas durante los a˜
nos de ense˜
nanza b´
asica y
media. Estas propiedades pueden agruparse entres familias: el primer grupo corresponde a aquellas
asociadas a la igualdad y las ecuaciones; el segundo grupo corresponde a las propiedades en torno a la
desigualdad y las inecuaciones; finalmente, existe un conjunto de propiedades avanzadas que marca la
diferencia entre los n´
umeros reales y los racionales (las fracciones), estas propiedades se preocupan de
la estructura interna de los n´umeros reales.
Estas u
´ltimas propiedades est´
an ligadas al llamado axioma del supremo, el cual hace a R u
´ nico.
Una posibilidad de estudiar las propiedades de R ser´ıa dar un largo listado de “todas ellas” de modo
que cuando se nos pregunte si una propiedad dada es cierta o no, bastar´ıa con decir: “s´ı, corresponde
a la propiedad 1743” (por ejemplo). Esto transformar´ıa al curso dematem´aticas en uno donde s´olo
habr´ıa que memorizar infinitas propiedades.
En este curso, escogeremos una visi´on opuesta a la anterior. Es decir, todas las propiedades deben
ser una consecuencia de ciertos postulados b´
asicos elementales. Estos postulados b´
asicos elementales
se llaman axiomas y ser´an los pilares fundamentales de nuestra teor´ıa. Las propiedades de R ser´an
s´olo aquellas que puedenser deducidas, mediante una razonamiento l´ogico-matem´atico, a partir de los
AXIOMAS.
Agruparemos los axiomas en tres grupos: Los axiomas de cuerpo (asociados a la igualdad), los axiomas
de orden (asociados a la desigualdad) y el axioma del supremo (que marca la diferencia entre los reales
y los racionales).
Juntando todos los axiomas que satisface R, suele decirse, en pocas palabras que R es unCuerpo
Ordenado Completo y Arquimediano.

1.2 Axiomas de Cuerpo de los Reales
Los axiomas de R sobre la igualdad tambi´en son llamados axiomas de cuerpo de los reales. Los agruparemos en un total de 5, de los cuales los dos primeros son los siguientes:
Axioma 1. (Conmutatividad)
a) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su suma es un real y es independiente del orden
en que se usen los dossumandos, es decir:
(∀x, y ∈ R)
1

x + y = y + x.

b) Cualesquiera que sean los reales x, y dados, su producto es un real y es independiente del
orden en que se haga el producto, es decir:
(∀x, y ∈ R)

x · y = y · x.

Axioma 2. (Asociatividad)
a) (∀x, y, z ∈ R) x + (y + z) = (x + y) + z
b) (∀x, y, z ∈ R) x · (y · z) = (x · y) · z
Observemos que el axioma de la asociatividad NO DICE que x + (y +z) = (x + z) + y. Sin embargo
esta u
´ltima igualdad es cierta, gracias a la combinaci´
on apropiada de los dos axiomas anteriores.
En efecto:
x + (y + z) =

x + (z + y)

Por el axioma 1

=

(x + z) + y

Por el axioma 2.

Por lo tanto, combinando los dos axiomas anteriores, se concluye que los operandos de una triple suma,
se pueden reordenar de cualquier forma, sin alterar el resultado. Es poresta raz´
on, que en general,
cuando hay varios sumandos, no se usan los par´entesis, a no ser que sea estrictamente necesario.
Ejercicios 1.1: Demostrar las siguientes igualdades, usando solo los axiomas 1 y 2.
1. (a + b) + c = (a + c) + b = (b + a) + c = (b + c) + a = (c + a) + b = (c + b) + a.
Aqu´ı se han escrito todos los ordenamientos posibles de los reales a, b y c.
2. (x + y) + (z + w) =(x + w) + (z + y) = (w + y) + (x + z).
El tercer axioma, que sigue, completa las propiedades de manipulaci´on algebraica de la suma y el
producto.
Axioma 3. (Distributividad)
a) (∀x, y, z ∈ R) x(y + z) = xy + xz
b) (∀x, y, z ∈ R) (x + y)z = xz + yz
Observemos que en este tercer axioma, la propiedad (b) es una consecuencia de la propiedad (a) m´as
los axiomas previos (m´
as precisamente, el de...