Arboles Binomiales

iaVALORACION DE OPCIONES CON ARBOLES BINOMIALES

Modelo Binomial Simple
• Precio actual de la acción $20 • Dentro de tres meses será $22 o $18
Precio Acción = $22 Precio Acción = $20 Precio Acción = $18

Una opción de compra
Una opción de compra a 3 meses sobre la acción tiene un precio de ejercicio de 21. Precio acción = $22 Precio opción =$1 Precio acción = $20 Precio opción =?Precio acción = $18 Precio opción = $0

Construir una cartera libre de riesgo
• Considerar la cartera: larga ∆ acciones corta 1 opción de compra 22∆ – 1

18∆

• La cartera es libre de riesgo cuando 22∆ – 1 = 18∆ o ∆ = 0.25

Valorar la cartera
(Tipo de interés libre de riesgo 12%)
• La cartera libre de riesgo es: larga 0.25 acciones corta 1 opción de compra • El valor de la cartera dentrode 3 meses es 22×0.25 – 1 = 4.50 • El valor de la cartera hoy es 4.5e – 0.12×0.25 = 4.3670

Valorar la opción
• La cartera es larga 0.25 acciones corta 1 opción su valor 4.367 • El valor de las acciones es 5 (= 0.25×20 ) • Por lo tanto, el valor de la opción es 0.633 (= 5 – 4.367 )

Generalización
• Un derivado con vencimiento en el momento T y que depende de una acción S ƒ Su ƒu Sd ƒdGeneralización
(continuación)
• Considere la cartera larga en ∆ acciones y corta en 1 derivado Su∆ – ƒu Sd∆ – ƒd • La cartera es libre de riesgo cuando Su∆ – ƒu = Sd ∆ – ƒd o

ƒu − fd ∆ = Su − Sd

Generalización
(continuacion) • Valor de la cartera en el momento T es Su ∆ – ƒu • Valor de la cartera hoy es (Su ∆ – ƒu )e–rT • Otra expresión para el valor de la cartera hoy es S ∆ – f • Demanera que ƒ = S ∆ – (Su ∆ – ƒu )e–rT

Generalización
(continuacion) • Sustituyendo por ∆ obtenemos
ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e–rT

donde

p =

e

− d u − d
rT

Valoración Riesgo-Neutral
• ƒ = [ p ƒu + (1 – p )ƒd ]e-rT • Las variables p y (1 – p ) pueden ser interpretadas como las probabilidades riesgo-neutral de movimientos al alza o a la baja, respectivamente. El valor de underivado es su resultado esperado en un mundo neutral al riesgo descontado al tipo de interés libre de riesgo.

S ƒ

p
(1 – p)

Su ƒu Sd ƒd

Irrelevancia de la rentabilidad esperada de la acción
Cuando estamos valorando una opción en términos de la acción subyacente la rentabilidad esperada de la acción es irrelevante.

Ejemplo
p

Su = 22 ƒu = 1 Sd = 18 ƒd = 0

S ƒ

(1 –

p)

•Dado que p es una probabilidad riesgo-neutral 20e0.12 ×0.25 = 22p + 18(1 – p ); p = 0.6523 • Alternativamente, podemos usar la fórmula:

erT − d e0.12× 0.25 − 0.9 p= = = 0.6523 11− 0.9 u−d .

Valorar la Opción
S ƒ
.652 0
0.34

3

Su = 22 ƒu = 1 Sd = 18 ƒd = 0

77

El valor de la opción es e–0.12×0.25 [0.6523×1 + 0.3477×0] = 0.633

Un ejemplo con dos pasos temporales
24.2 22 2018 19.8

16.2 • Cada paso temporal es 3 meses

Valorar una opción de compra
D

22 20 1.2823
A

24.2 3.2 19.8 0.0 16.2 0.0

B E C F

2.0257 18 0.0

• Valor en el nodo B = e–0.12×0.25(0.6523×3.2 + 0.3477×0) = 2.0257 • Valor en el nodo A = e–0.12×0.25(0.6523×2.0257 + 0.3477×0) = 1.2823

Ejemplo de una opción de venta; X=52
D

60 50 4.1923
A

72 0 48 4

B E

1.4147 40
C9.4636

F

32 20

Qué sucede cuando una opción es de estilo americano
D

60 50 5.0894
A

72 0 48 4

B E

1.4147 40
C

12.0

F

32 20

Parámetros del árbol: acción que no paga dividendos (1)
• Nosotros elegimos los parámetros p, u, y d tal que el árbol proporcione los valores correctos de media y desviación típica de los cambios en el precio de la acción en un mundoneutral al riesgo.
er ∆t = pu + (1– p )d σ2∆t = pu 2 + (1– p )d 2 – [pu + (1– p )d ]2

• Otra condición impuesta: u = 1/ d

Elegir u y d
Una forma de ajustar la volatilidad es establecer
u = eσ d = e
−σ ∆t ∆t

donde σ es la volatilidad y ∆t es la longitud del paso temporal. Esta es la aproximación usada por Cox, Ross, and Rubinstein

Parámetros del árbol: acción que no paga...