Area bajo una curva

CÁLCULO DE ÁREAS DE REGIONES PLANAS POR INTEGRACIÓN

ÁREA DE UNA REGIÓN BAJO UNA CURVA



Fórmula o Regla para calcular el área de una región bajo una curva

Ejercicios resueltos.-

1. - Hallar el área de la región limitada por la curva y el eje x, para .
Solución:

1º) Se construye la gráfica de la curva :
Es una parábola con eje focal coincidente con el eje de lasordenadas, vértice en (0, 0) y es cóncava hacia arriba.
Por el intervalo especificado, interesa la rama que abre a la derecha.
Para valores de “x” iguales a 1 y 3, “y” es igual 1 y 9, respectivamente.
y=x2
y



9




1x
1 dx 3

2º) Se construye el rectángulo genérico.

3º) Se escribe la integral y se evalúa:


u. a.: unidades de área
2. - Utilizando un rectángulo genérico horizontal, calcule el área de la región limitada por la curva , el eje x y lasordenadas de los puntos x=0 x=3.
Solución:

1º) Se construye la gráfica de la curva :

Es una parábola con eje focal coincidente con el eje de las ordenadas, vértice en (0, 0) y es cóncava hacia arriba.
Por el intervalo especificado, interesa la rama que abre a la derecha.
Para valores de “x” iguales a 0 y 3, “y” es igual 0 y 9, respectivamente.

y9 y=x2

dy

3-x

x0 x 3

2º) Se construye el rectángulo genérico.


3º) Se escribe la integral y se evalúa: En este ejercicio se debe considerar g(y)=x.

Luego:

Al integrar con respecto a “y”, los límites de integración cambian y ahora serán:Entonces:



3.- Halle el área de la región comprendida entre el eje x, la parábola , y las rectas .

Solución:

1º) Se construye la gráfica:

: Parábola con eje focal paralelo con el eje de las ordenadas, y es cóncava hacia abajo.

Determinación del vértice de la parábola:

Derivada de la función:
Raíz de la derivada:
La función se evalúa para la raíz de laderivada:
Coordenadas del vértice: V (2, 4)

Las rectas determinan el intervalo de trabajo: [0, 4]
Se utiliza al intervalo [0, 4] para obtener otros puntos de la curva que se generan en el mismo.

x 0 1 2 3 4
y 0 3 4 3 0

2º) Se construye el rectángulo genérico:

3º) Se escribe la integral y se evalúa:




4.- Calcule el área de la región limitada por la parábola , y lasrectas .
Solución:

1º) Se construye la gráfica:

Las rectas dadas determinan el intervalo de trabajo:

Luego:

: Parábola cóncava hacia arriba.

Se determina el vértice de la parábola:

Derivada de la función:
Raíz de la derivada:
La función se evalúa para la raíz de la derivada:
Coordenadas del vértice:

Se utiliza al intervalo [0, 6] para obtener otrospuntos de la curva que se generan en el mismo.

x 0 1 2 3 4 5 6
y 6 0 -4 -6 -6 -4 0

2º) Se trabaja con rectángulo genérico vertical.

3º) Se escribe la integral y se evalúa:



5.- Hallar el área de la región entre la parábola , el eje x y las rectas x=2 y x=10.
Solución:

1º) Se construye la gráfica.

: Parábola con eje focal paralelo al eje de las ordenadas, y es cóncava...