Areas Y Volumenes

ÁREAS
DEFINICIÓN
Área es el número que expresa la medida de una
región.
región
unitaria
1u

3. Área de una región triangular en función
de:
1. Del inradio
a
b

2

r

Región
1u

2

1u

1u

2

1u

2

como: p =
2

c

A = p.r
2

1u : unidad de área

2.

Del ex radio

Área de una región triangular

1. Fórmula básica

> 90
A = (p – a) ra
A = (p – b) rb
A =

A=

A = (p – c) rc
3.

Del circunradio

b
A=

a
A =

2. Fórmula trigonométrica

4. Teorema de Herón
Como : p =

b
a

A=

5. Segmentos determinados en la hipotenusa:

A=
A
r

m

n

= m.n

4. Área de un

equilátero

3. Paralelogramo

En función del lado:
AP = b . h
h
60

l

l

A=
b

60

60

4. Rombo

l

B

30 30

A=
h

AR =
60

60

A

C

Área de regiones cuadrangulares
1.

Fórmula básica
B

B

C

5. Rectángulo
b

A

A= a . b

D
a

A

=

6.Cuadrado

l
l

2. Trapecio

l

D

b
h

l

m

h

En función del lado

A=l

2

B

AT = m . h

AΤ

En función de la diagonal

A=

7. Cuadrilátero inscrito
B
d

Caso particular
B

n

C
a
C

AT = n . d

c
A
b

A

BC // AD

D

D

1

Área de regiones circulares

Como : p =

Círculo
A=
A= r2
8. Cuadrilátero circunscrito:

r

A=

d

d

0

a

r

0

c

Corona circular

r

d

A= (R2 - r2)

b
0

A=
r

Como : p=

A= p . r

R

9. Cuadrilátero bicéntrico
Sector circular

T. de Pilot : a + c = b + d

R

A=

b

0
c

a

R
d

como :

Trapecio circular

p=
A=

A=
R

r

10. Cuadrilátero ex inscrito

Segmento circular
d

c

ra

A
b

como : ra es ex radio

Nota: Teorema de Steiner:

=A
AB

a

0

A = ra (a – c)

A

R

A

-A

AOB
AB

AOB

=

B

a–c=d-b

2

PROBLEMAS PROPUESTOS
1. Hallar el área de un cuadradoinscrito en
un círculo de radio 2
a) 8m2
e) N.A.

b) 14m2

c) 16m2

d) 10m2

2. El área de un círculo es m2. ¿cuál es el
área del triangulo equilátero inscrito en la
circunferencia?
a)

b)

c)

d)

e) N.A.

3. Calcular la longitud de una circunferencia
inscrito en un triángulo de 30 m de
perímetro y cuya área es de 30 m2.
a)
b)
c)
d)
e)

7. Hallar el área de la región sombreada.
a) 10
2
b) 6
4
c) 8d) 12
r
R
e) N.A.
8. Calcular el área de la región sombreada ABCD.
B

a) 24
b) 30
6
A
c) 48
d) 32
e) 12
D
8
9. Hallar el área del trapecio ABCD.
C

E

Lc = 2
Lc = 4
Lc = 8
Lc = 6
Lc = 10

B 2

a) AT = 20
b) AT = 10
c) AT = 5
d) AT = 2

2

4. ¿Cuál es el área de un triángulo en m , si
sus lados miden 13 ; 20 y 21m ?
a) 120m2

b) 124m2

d) 130m2

e) N.A.

b)

A

8

D

e) AT = 6

c) 126m2

5. Loslados de un triangulo miden 10;12 y
14 m. ¿cuánto mide el radio del círculo
inscrito?
a)

C

c)

d)

e)

10. En un trapecio ABCD, ( AB//CD; AB > CD). Las
áreas de los triángulos AOB y COD son de
25m2 y 12 m2. Hallar el área del trapecio (0 es
el punto de corte de las diagonales).
a) 71m2
b) 36m2
c) 71,6m2
d) 36,6m2
e) 70,6m2

6. Hallar el área del círculo.
a) (24 - 12
b) (24 - 16
c) (12 - 24
R= 4

d)(3 – 4

e)

(4 – 3

R= 4

3

E

PRISMA
Es Un poliedro limitado por 2 polígonos iguales y
paralelos llamados bases y por paralelogramos
llamados caras.

H

F

G
D

A

A

B

E’

Paralelepípedo recto: las aristas laterales
perpendiculares a las bases,
Paralelepípedo
oblicuo:
aristas
perpendiculares a las bases
Paralelepípedo rectángulo: sus caras
rectángulos.
Cubo o hexaedro regular: sus carascuadrados.

D’

A’
C’

B’

E
A

D
B

C

Base

Polígonos
D

a

d

Aristas
a

Arista perpendiculares a las bases
Caras rectangulares

D=a

o

d=a

o
o

V = a3
A = 6 a2

no
son
son

a

Altura: distancia entre sus bases
PRISMA RECTO

o

son

PARALELEPÍDO RECTÁNGULO
D=

C

D

V=a .b.c
b
a

PRISMA OBLICUO
Arista no perpendiculares a la base
Caras romboides

Área total: es la suma de todas las
caras
Árealateral: es la suma de las caras
laterales

Superficies y volúmenes de prismas
1. Área lateral (AL)
AL = (arista lateral).
(perímetro de la base)

PARALELEPÍPEDOS
Es el prisma cuyas bases son paralelogramos
Diagonal: BE (debe unir dos vértices opuestos)

2. Área total (AT)
AT = AL + 2 (Área de la base)
3. Volumen (V) CILINDRO
V = (Área de la base).h

4

Área lateral

r

PIRÁMIDE

g: generatríz

AL...